Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.
Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y
Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)
\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)
\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Câu 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G. Chứng minh rằng
a/\(AB^2+AC^2=5BC^2\)
b/Gọi K là giao điểm của AG và BC. Chứng minh rằng: Ba trung tuyến BN, CM và AK là ba cạnh lập thành của một tam giác vuông
Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
a)\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)
b)\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1
Đúng 0
Bình luận (0)
a)
Gọi AH,AM lần lượt là đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABCTa có: \(AH\le AM\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{AM}\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{3GM}\)( do G là trọng tâm tam giác ABC)\(\left(1\right)\)Xét tam giác BGC vuông tại G có BM là trung tuyến( do M là trung điểm BC)\(\Rightarrow2GM=BC\left(2\right)\)\(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{HC}{AH}=\frac{BC}{AH}\left(3\right)\)Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
b) \(\hept{\begin{cases}AM^2=AH^2+HM^2=\left(AC^2-HC^2\right)+\left(MC-HC\right)^2=AC^2+MC^2-2MC.HC=AC^2+\frac{BC^2}{4}-BC.HC\\AM^2=AH^2+HM^2=\left(AB^2-BH^2\right)+\left(BH-BM\right)^2=AB^2+BM^2-2BH.BM=AB^2+\frac{BC^2}{4}-BC.BH\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2AM^2=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC\left(HC+BH\right)=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC^2=AB^2+AC^2-\frac{BC^2}{2}\)
\(CMTT\Rightarrow\hept{\begin{cases}4BM^2=2AB^2+2BC^2-AC^2\\4CN^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\end{cases}\left(4\right)}\)
\(BM\perp CN\Leftrightarrow BG^2+CG^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}BN\right)^2+\left(\frac{2}{3}CN\right)^2=BC^2\Leftrightarrow4BN^2+4CN^2=9BC^2\left(5\right) \)
\(Từ\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow\left(2AB^2+2BC^2-AC^2\right)+\left(2AC^2+2BC^2-AB^2\right)=9BC^2\Leftrightarrow5BC^2=AB^2+AC^2\left(đpcm\right)\)
Xem thêm câu trả lời
Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
\(AC^2+AB^2=5BC^2\)
1.Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM vuông góc với trung tuyến BN, cho AB = x. Tính AC, BC theo x?
2. Tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác, trung tuyến AM vuông góc BD. Cho BD = \(2\sqrt{3}x\)(x>0). Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC?
1) tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau . chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
2)cho tam giác ABC cân ở A , AB=34cm , BC =32cm , và 3 trung tuyến AM , BN , CP đồng quy tại trọng tâm G
a) chúng minh AM vuông góc với
b) tính độ dài AM , BN ,CP (làm trong kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)
câu 2 :
a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không
xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :
AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)
AM là cạnh chung
=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)
=> AM ⊥ BC
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC VUÔNG TẠI a, có đường cao AH
a) chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA và \(AB^2\)=BH.BC
b) Kẻ HD vuông góc với AC (D ϵ AC). Đường trung tuyến C cắt HD tại N. Chứng minh N là trung điểm HD
giúp em với ạaaa
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔHBA
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BA^2=BH\cdot BC\)
b: Sửa đề: Đường trung tuyến CM của ΔABC cắt HD tại N
Ta có: HD\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: HD//AB
=>ND//AM và HN//MB
Xét ΔCAM có ND//AM
nên \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{CN}{CM}\left(1\right)\)
Xét ΔCMB có NH//MB
nên \(\dfrac{NH}{MB}=\dfrac{CN}{CM}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{NH}{MB}\)
mà AM=MB
nên ND=NH
=>N là trung điểm của DH
Đúng 0
Bình luận (0)