\(f'\left(x\right)=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\)

Hàm có 3 cực trị khi \(m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=3m^2-m+2\\x=-\sqrt{m};y=2m^2-m+2\\x=\sqrt{m};y=2m^2-m+2\end{matrix}\right.\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|-\sqrt{m}-\sqrt{m}\right|.\left|\left(3m^2-m+2\right)-\left(2m^2-m+2\right)\right|\)

\(=\sqrt{m}.m^2=32\)

\(\Rightarrow\sqrt{m^5}=2^5\Rightarrow m=4\)

a. Hàm có 3 cực trị \(\Rightarrow m< 0\)

\(y'=8x^3+4mx=4x\left(2x^2+m\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=-\dfrac{3m}{2}\\x=-\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\\x=\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\end{matrix}\right.\)

Trong đó \(A\left(0;-\dfrac{3m}{2}\right)\) là cực đại và B, C là 2 cực tiêu

Do tam giác ABC luôn cân tại A \(\Rightarrow\) tâm I của đường tròn ngoại tiếp luôn nằm trên trung trực BC hay luôn nằm trên Oy

Mà tứ giác ABCO nội tiếp \(\Rightarrow OI=AI\Rightarrow I\)  là trung điểm OA (do I, O, A thẳng hàng, cùng nằm trên Oy)

\(\Rightarrow I\left(0;-\dfrac{3m}{4}\right)\)

Mặt khác trung điểm BC cũng thuộc Oy và IB=IC (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp)

\(\Rightarrow\) I trùng trung điểm BC

\(\Rightarrow-\dfrac{3m}{4}=-\dfrac{m^2+3m}{2}\) \(\Rightarrow m\)

b.

Từ câu a ta thấy khoảng cách giữa 2 cực đại là:

\(\left|x_B-x_C\right|=2\sqrt{-\dfrac{m}{2}}=5\Rightarrow m=-\dfrac{25}{2}\)

Opps, phần a lý luận bị nhầm lẫn.

Từ việc IB=IC, và trung điểm BC thuộc Oy ko thể dẫn tới kết luận I là trung điểm BC (vì I, B, C ko thẳng hàng)

Do đó phải sửa lại:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IB}=\left(-\sqrt{-\dfrac{m}{2}};\dfrac{-2m^2-3m}{4}\right)\\\overrightarrow{IO}=\left(0;\dfrac{3m}{4}\right)\end{matrix}\right.\)

\(IB=IO\Rightarrow-\dfrac{m}{2}+\left(\dfrac{-2m^2-3m}{4}\right)^2=\left(\dfrac{3m}{4}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+3m^3-2m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)\left(m^2+2m-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=-1\\m=-1+\sqrt{3}\left(loại\right)\\m=-1-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Đáp số : \(m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}};m=-\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)

Đáp số : \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)