bài toán dễ thôi nhưng em nên hiểu lấy bản chất dạng bài để làm các bài tương tự thế này: 
nếu gọi tổng bên trái là A thì A chia hết cho 8 khi A ít nhất là A chia hết cho 4 và A phải là số chẵn.đấy là điều kiện cần,còn điều kiện bắt buộc thì A phải chia hết cho 8,hay bội số cua 8. 
Đặt n=2k+1 với k thuộc Z 
A=(2k+1)^2+4(2k+1)+5=4k^2+12k+10= 
(2k+3)^2+1 
ta biết 1 số bình phương chia cho 8 thì dư 1 hoặc 3(bạn nên chứng minh thêm bài toán phụ này) 
khi đó A chia 8 sẽ dư 2 hoăc 4,suy ra đpcm

bài toán dễ thôi nhưng em nên hiểu lấy bản chất dạng bài để làm các bài tương tự thế này: 
nếu gọi tổng bên trái là A thì A chia hết cho 8 khi A ít nhất là A chia hết cho 4 và A phải là số chẵn.đấy là điều kiện cần,còn điều kiện bắt buộc thì A phải chia hết cho 8,hay bội số cua 8. 
Đặt n=2k+1 với k thuộc Z 
A=(2k+1)^2+4(2k+1)+5=4k^2+12k+10= 
(2k+3)^2+1 
ta biết 1 số bình phương chia cho 8 thì dư 1 hoặc 3(bạn nên chứng minh thêm bài toán phụ này) 
khi đó A chia 8 sẽ dư 2 hoăc 4,suy ra đpcm

bài toán dễ thôi nhưng em nên hiểu lấy bản chất dạng bài để làm các bài tương tự thế này: 
nếu gọi tổng bên trái là A thì A chia hết cho 8 khi A ít nhất là A chia hết cho 4 và A phải là số chẵn.đấy là điều kiện cần,còn điều kiện bắt buộc thì A phải chia hết cho 8,hay bội số cua 8. 
Đặt n=2k+1 với k thuộc Z 
A=(2k+1)^2+4(2k+1)+5=4k^2+12k+10= 
(2k+3)^2+1 
ta biết 1 số bình phương chia cho 8 thì dư 1 hoặc 3(bạn nên chứng minh thêm bài toán phụ này) 
khi đó A chia 8 sẽ dư 2 hoăc 4,suy ra đpcm

a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

\(n^6-n^4-n^2+1\)

\(=n^4\left(n^2-1\right)-\left(n^2-1\right)=\left(n^4-1\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)^2\left(n^2+1\right)\)

Thay n=2k+1 vào giải :))

1. Xét n=1
VT = 1² = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh

2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.

có n²+4n+3=(n+1)(n+3) mà n lẻ suy ra n²+4n+3 là tích 2 số chẵn liên tiếp

mà hai số chẵn liên tiếp thì sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4=>n²+4n+3chia hết cho 8

tick cho mình đi đã rồi mình bày cho nếu khôn thì đừng mơ nhé

P.s cái đề b/s thêm n nguyên

Xét \(n\left(n^4-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right).\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Do (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 40

Lại có n lẻ => (n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8

=>5(n-1)n(n+1) chia hết cho 40

\(\Rightarrow n\left(n^4-1\right)⋮40\Leftrightarrow n^4-1⋮40\)(Vì n lẻ, n không chia hết cho 5)

DO N KHÔNG CHIA HẾT CHO 5 MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 5 DƯ 0 , 1 , 4

=> n^2 CHIA 5 DƯ 1 HOẶC 4

=> n^4 CHIA 5 DƯ 1 => n^4 - 1 chia hết cho 5

DO N LÀ SỐ LẺ MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 8 DƯ 0,1 HOẶC 4

=> n^2 chia 5 dư 1 hoặc 4

=> n^4 chia 8 dư 1

=> n^4 chia hết cho 8

Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau

=> n^4 - 1 chia hết cho 40