Cho \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=4\) với a', b', c' # 0
Tìm: \(P=\frac{a-3b+2c}{a'-3b'+2c'}\)
\(Q=\frac{a+b+c}{a'+b'+c'}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b0 . Chứng minh frac{1}{a}+frac{1}{b}gefrac{4}{a+b} (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}ge2left(frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}right) với a,b,c0
b)frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}ge2left(frac{1}{2a+b+c}+frac{1}{a+2b+c}+frac{1}{a+b+2c}right) với a,b,c0
c)Cho a,b,c0 tm frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}4 . CM frac{1}{2a+b+c}+frac{1}{a+2b+c}+frac{1}{a+b+2c}le1
d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:
frac{1}{p-a}+frac{1}{p...
Đọc tiếp
Cho a,b>0 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\) với a,b,c>0
b)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\) với a,b,c>0
c)Cho a,b,c>0 tm \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) . CM \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)
d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
Câu d : \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow2p=a+b+c\)
Ta có : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi nó là tam giác đều
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Các bạn giúp mình với nha:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.
CMR\(\frac{a.b}{a^2+b^2}+\frac{b.c}{b^2+c^2}+\frac{c.a}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c >0. Tìm GTNN của \(\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\)
áp dụng cô si ta có:+)frac{a^5}{b^3}+frac{a^3}{b}gefrac{2a^4}{b^2};frac{b^5}{c^3}+frac{b^3}{c}gefrac{2b^4}{c^2};frac{c^5}{a^3}+frac{c^3}{a}gefrac{2c^4}{a^2}Leftrightarrowfrac{a^5}{b^3}+frac{b^5}{c^3}+frac{c^5}{a^3}ge2left(frac{a^4}{b^2}+frac{b^4}{c^2}+frac{c^4}{a^2}right)-left(frac{a^3}{b}+frac{b^3}{c}+frac{c^3}{a}right)+)frac{a^4}{b^2}+a^2gefrac{2a^3}{b};frac{b^4}{c^2}+b^2gefrac{2b^3}{c};frac{c^4}{a^2}+c^2gefrac{2C^3}{a}Leftrightarrowfrac{a^4}{b^2}+frac{b^4}{c^2}+frac{c^4}{a^2}ge2left(frac{a^3}...
Đọc tiếp
áp dụng cô si ta có:
+)\(\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^3}{b}\ge\frac{2a^4}{b^2};\frac{b^5}{c^3}+\frac{b^3}{c}\ge\frac{2b^4}{c^2};\frac{c^5}{a^3}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{2c^4}{a^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge2\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)-\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)\)
+)\(\frac{a^4}{b^2}+a^2\ge\frac{2a^3}{b};\frac{b^4}{c^2}+b^2\ge\frac{2b^3}{c};\frac{c^4}{a^2}+c^2\ge\frac{2C^3}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\ge2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
+)\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\ge\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-a^2-b^2-c^2\right)\ge\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)+\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}-\frac{a^3}{b}-\frac{b^3}{c}-\frac{c^3}{a}\right)\ge\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)\)
Với a,b,c>0.Cmr
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}=\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(VT\ge\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}+\frac{4}{2a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}CM(\frac{a+b+c}{b+c+d})^4=\frac{ab}{cd}\)
Giúp mk với mik like cho
Bạn có biết không ? Trong Đây không được nha bạn, nếu được thì và Sub cho Channel mình nha : https://www.youtube.com/channel/UCqgS-egZEJIX-ON873XpD_Q/videos?view_as=subscriber
- Chúc bạn học tốt -
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c thỏa mãn \(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}=\frac{3}{4}.\)
Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{2a+b+c}+\frac{b^2}{2b+c+a}+\frac{c^2}{2c+a+b}=\frac{a+b+c}{4}.\)
Cho a,b,c > 0 và a+b+c=4. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+8>9\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
(P/s: các bạn giải nhanh hộ mk với !!!)