\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) (vì là 3 số nguyên lt)

\(n^3+3n^2+2n-n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

\(n^3+3n^2+2n\)

\(=n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

a: \(n^3-2⋮n-2\)

=>\(n^3-8+6⋮n-2\)

=>\(6⋮n-2\)

=>\(n-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

b: \(n^3-3n^2-3n-1⋮n^2+n+1\)

=>\(n^3+n^2+n-4n^2-4n-4+3⋮n^2+n+1\)

=>\(3⋮n^2+n+1\)

=>\(n^2+n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

mà \(n^2+n+1=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}\forall n\)

nên \(n^2+n+1\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+n+1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2+n=0\\n^2+n-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)=0\\\left(n+2\right)\left(n-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;-2;1\right\}\)

A=n³+n²+2n²+2n

=n²(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n²+2n)

=n(n+1)(n+2)

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=>n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 3 với mọi 

=>A luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

         = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 3n2 + 5n

      = n.(n2 + 3n + 5)

      = n.(n2 + 3n + 2 + 3)

      = n.(n2 + 3n + 2) + 3n

      = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

mn mn ơiii

helllppppppppp

\(2,\\ 3^{n-3}+2^{n-3}+3^{n+1}+2^{n+2}\\ =3^{n-3}\left(1+3^4\right)+2^{n-3}\left(1+2^5\right)\\ =3^{n-3}\cdot82+2^{n-3}\cdot33\)

Vì \(3^{n-3}\cdot82⋮2;⋮3\) nên \(3^{n-3}\cdot82⋮6\)

\(2^{n-3}\cdot33⋮2;⋮3\) nên \(2^{n-3}\cdot33⋮6\)

Do đó tổng trên chia hết cho 6 với mọi \(n\in N\)

1/abcd chia hết cho 101 thì cd = ab, abcd = abab

Mà:

ab - ab = ab - cd = 0 (chia hết cho 101)

Ngược lại, ab - ab = cd - ab = 0 (chia hết cho 101)

2/n . (n+2) . (n+8)

n có 3 trường hợp:

TH1: n chia hết cho 3

Gọi tích đó là A.

A = n.(n+2).(n+8)

A = 3k.(3k+2).(3k+8)

=> A chia hết cho 3

TH2: n chia 3 dư 1

B = (3k+1).(3k+1+2).(3k+1+8)

B = (3k+1).(3k+3).(3k+9)

Vì 3k chia hết cho 3 và 3 chia hết cho 3 nên 3k+3 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

TH3: n chia 3 dư 2

TH này ko hợp lý, bạn nên xem lại đề

n . (n+4) . (2n+1)

bạn giải tương tự nhé

Có: \(n^3+3n^2+2n=n^3+n^2+2n^2+2n\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(2n+n^2\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+2\right)\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có \(n;n+1;n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\)trong đó có một số chia hết cho 3; có ít nhất một số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho \(2\times3\)

\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)\(n^3+3n^2+2n\)chia hết cho 6

Bạn Phạm Trần Minh Ngọc làm thiếu rồi, mình phải có thêm dữ kiện 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nữa mới đủ ~~

Có: 

n^ 3 + 3n^ 2 + 2n

= n ^3 + n^ 2 + 2n ^2 + 2n

= n ^2( n + 1 )+ 2n (n + 1)

= (2n + n ^2 )(n + 1 )

= n( n + 2)( n + 1)

= n( n + 1)(n + 2)Có n;n + 1;n + 2là 3 số nguyên liên tiếp

⇒ trong đó có một số chia hết cho 3; có ít nhất một số chia hết cho 2

⇒n (n + 1)( n + 2) chia hết cho 2 × 3

⇒n (n + 1)( n + 2) chia hết cho 6

⇒n^ 3 + 3n^ 2 + 2n chia hết cho 6