b: \(=\dfrac{3a-9-2a-6-6}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}=\dfrac{a-15}{a^2-9}\)

Mình có nghe nói là 2 nhà toán học Alfred North Whitehead và Bertrand Russell đã chứng minh 1+1=2 trong quyển Principa Mathemaa (tạm dịch: nền tảng của toán học). Họ đã mất hơn 360 trang để chứng minh điều này. Thầy giáo bạn gãi đầu là phải. 

Phép chứng minh này dựa trên một bộ 9 tiên đề về tập hợp gọi tắt là ZFC (Zermelo–Fraenkel). Rất nhiều lý thuyết số học hiện đại dựa trên những tiên đề này. Nếu có người chứng minh được một trong những tiên đề đó là sai (VD: 2 tập hợp có cùng các phần tử mà vẫn không bằng nhau) thì rất có thể dẫn đến 1+1 != 2

Bài 2:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x-2}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+x+2+x-2}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3x}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3}{x+2}\)

Để 3/x+2 là số nguyên thì \(x+2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(x\in\left\{-1;-3;1;-5\right\}\)

a) \(x\left(x-3\right)\left(x+3\right)-\left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)\)

\(=x\left(x^2-9\right)-x^4+4\)

\(=x^3-9x-x^4+4\)

\(=-x^4+x^3-9x+4\)

b) \(\left(y+2\right)\left(y-2\right)\left(y^2+4\right)-\left(y^2-3\right)\left(y^2+3\right)\)

\(=\left(y^2-4\right)\left(y^2+4\right)-y^4+9\)

\(=y^4-16-y^4+9\)

\(=-7\)

c) \(\left(a-b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2+2\left(a-b+c\right)\left(c-b\right)\)

\(=\left(a-b+c\right)^2-2\left(a-b+c\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\)

\(=\left[\left(a-b+c\right)-\left(b+c\right)\right]^2\)

\(=\left(a-2b\right)^2\)

\(=a^2-4ab+4b^2\)

a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà a + b + c = 3  \(\Rightarrow a=b=c=1\)

\(\Rightarrow M=1+2015+2020\)\(=4036\)

b) \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[x^2+y^2-\left(x+y\right)\left(x+y\right)\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-2xy\left(x-y\right)< 0\)

Có \(x>y\Rightarrow x-y>0\)

\(\Rightarrow-2xy< 0\)

\(\Leftrightarrow xy>0\)

TH1: \(\orbr{\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}}\)( thỏa mãn )

TH2:\(\orbr{\begin{cases}x< 0\\y< 0\end{cases}}\)( loại )

Vậy bđt được chứng minh

Thanh diu ve di mắt