a) . Tập xác định : R {} ;

và ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .

Với mọi tham số m ta có :

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Chọn C

a) y = x 3  − (m + 4) x 2  − 4x + m

⇔ ( x 2  − 1)m + y − x 3  + 4 x 2  + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3 x 2  − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ( m + 4 ) 2  + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x 3  – 4 x 2  – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3  – 4 x 2  – 4x = kx.

Hay phương trình  x 2  – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

2) Để (d) đi qua A(2;8) thì Thay x=2 và y=8 vào hàm số \(y=\left(m^2-2m+3\right)x-4\), ta được: 

\(\left(m^2-2m+3\right)\cdot2-4=8\)

\(\Leftrightarrow2m^2-4m+6-4-8=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-4m-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-6m+2m-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(m-3\right)+2\left(m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(2m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\2m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\2m=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Để (d) đi qua A(2;8) thì \(m\in\left\{3;-1\right\}\)

a: Thay x=-1 và y=1 vào (d), ta được:

-(a-1)+a=1

=>-a+1+a=1

=>1=1(luôn đúng)

b: Thay x=0 và y=3 vào (d), ta được;

0(a-1)+a=3

=>a=3

=>y=2x+3

c: Thay x=-2 và y=0 vào (d), ta được;

-2(a-1)+a=0

=>-2a+2+a=0

=>2-a=0

=>a=2

Ta có:

⇒  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua A 1 ; 2

⇔ 

⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A - 1 , 2