Ta có: HC - HB = 9 \(\Rightarrow\)HC = HB + 9

Theo hệ thức lượng 2 trong tam giác vuông; ta có:

\(AH^2=BH\times CH=BH\times\left(BH+9\right)\)

\(\Leftrightarrow6^2=BH^2+9BH\)

\(\Leftrightarrow BH^2+9BH-36=0\)

\(\Leftrightarrow BH^2-3BH+12BH-36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(BH-3\right)\left(BH+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}BH=3\left(tm\right)\\BH=-12\end{cases}}\)

\(\Rightarrow CH=9+BH=9+3=12\)

Vậy BH = 3cm; CH = 12 cm

Gọi HB,HC lần lượt là a và b(a,b >0)

Có a -b =9 (cm) => b=a+9

Ta lại có : AH² = a(a+9)

6² = a² +9a

a² +9a - 36 = 0

a² +12a - 3a - 36 = 0

a(a+12) - 3(a+3) = 0

(a + 12)(a - 3) = 0    

Mà a > 0  => a=3

=> b = 9 +3 =12

Vậy : HB = 3cm

        HC = 12 cm

    \(HC-HB=9\)

\(\Rightarrow\)\(HC=9+HB\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

     \(AH^2=HB.HC\)

\(\Leftrightarrow\)\(36=HB.\left(9+HB\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(HB^2+9HB-36=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(HB-3\right)\left(HB+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(HB=3\)

\(\Rightarrow\)\(HC=9\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=7,2\left(cm\right)\\BH=5.4\left(cm\right)\\CH=9.6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)