Áp dụng BĐT cosi cho 2 số a,b dương ta có

\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)

\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{1}\)=2

vậy \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2

dấu = xảy ra khi\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{a}\)<=> \(a^2\)=\(b^2\) <=> a=b(vì a,b dương)

khi a bang b

giải thích

Áp dụng cô-si cho ba dương ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

Suy ra : \(a^2b+ab^2+1-3ab\ge3\sqrt[3]{a^2b.ab^2.1}-3ab=3ab-3ab=0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a^2b=ab^2=1\Rightarrow a=b=1\)

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\):

\(2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(2\sqrt{ab}+a+b\right)^2}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\dfrac{1}{4}\)

<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{8}\)

<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) => 64ab(a+b)² \(\le1\)

Dấu "=" <=> a = b = \(\dfrac{1}{4}\)

sai đề

Ta có BĐT : a² + b² ≥ 2ab

=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ a

Dấu " = " xảy ra khi : a = b

\(\text{ Ta có : }\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}+\dfrac{a^2}{ab}\\ \\ =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Áp dụng BDT Cô-si: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}\ge2\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)