Question

Cho a, b là các số dương. Chứng tỏ: \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\), dấu bằng xảy ra khi nào.

Answer 1

Ta có BĐT : a² + b² ≥ 2ab

=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ a

Dấu " = " xảy ra khi : a = b

Answer 2

\(\text{ Ta có : }\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}+\dfrac{a^2}{ab}\\ \\ =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Áp dụng BDT Cô-si: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}\ge2\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)