Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

cho a;b;c thoă mãn là 3 số dương và abc=1

CMR:\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Nguyễn Ngô Minh Trí
10 tháng 2 2019 lúc 17:45

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a\left(b+c\right)}{4}=2\sqrt{\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{abc}{a}=bc}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b\left(c+a\right)}{4}\ge\dfrac{1}{b}=ac\)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{4}\ge\dfrac{1}{c}=ab\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow VT+\dfrac{ab+bc+ac}{2}\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\ge3^3\sqrt{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1


Các câu hỏi tương tự
Team Liên Quân
Xem chi tiết
Phượng Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
Trần Thiên Kim
Xem chi tiết
Sakura Nguyen
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
Hehegivaycau^^
Xem chi tiết
Học 24h muôn năm
Xem chi tiết