a, Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2a+1\right)^2\ge0\\\left(b+3\right)^2\ge0\\\left(5c-6\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\forall a,b,c\in R\)

\(\Rightarrow\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2\ge0\forall a,b,c\in R\)

Mà \(\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2\le0\)

Nên trường hợp chỉ xảy ra là : \(\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2=0\)

- Dấu " = " xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2a+1=0\\b+3=0\\5c-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\\b=-3\\c=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b,c,d tương tự câu a nha chỉ cần thay số vào là ra ;-;

a) \(A=3\left|2x-\dfrac{3}{2}\right|+2021^0=3\left|2x-\dfrac{3}{2}\right|+1\ge1\)

\(minA=1\Leftrightarrow2x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)

b) \(B=2\left|x-6\right|+3\left(2y-1\right)^2+2021^0=2\left|x-6\right|+3\left(2y-1\right)^2+1\ge1\)

\(minB=1\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=3\left|2x-\dfrac{3}{2}\right|+1\ge1\\ A_{min}=1\Leftrightarrow2x-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\\ B=2\left|x-6\right|+3\left(2y-1\right)^2+1\ge1\\ B_{min}=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\x-\frac{3}{4}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{3}{4}\end{cases}}\)

\(\left(x+\frac{1}{2}\right).\left(x-\frac{3}{4}\right)=0\)

\(x+\frac{1}{2}=0\)hoặc \(x-\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)hoặc \(x=\frac{3}{4}\)

\(\left(x+\frac{1}{2}\right).\left(x-\frac{3}{4}\right)=0\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\x-\frac{3}{4}=0\end{cases}}\)

TH 1: \(x+\frac{1}{2}=0\)

\(x=0-\frac{1}{2}\)

\(x=-\frac{1}{2}\) (1)

TH 2: \(x-\frac{3}{4}=0\)

\(x=\frac{3}{4}+0\)

\(x=\frac{3}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) => x thuộc tập hợp \(\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)\)

chúc bạn học tốt nha

b.\(ĐK:x;y\in Z^+;x;y\ne0\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}+\dfrac{5}{y}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}=1-\dfrac{5}{y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}=\dfrac{y-5}{y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{y-5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5y}{y-5}\)

\(\Leftrightarrow x=5+\dfrac{25}{y-5}\) ( bạn chia \(5y\) cho \(y-5\) ý )

Để x;y là số nguyên dương thì \(25⋮y-5\) hay \(y-5\in U\left(25\right)=\left\{\pm1;\pm5;\pm25\right\}\)

TH1: 

\(y-5=1\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=30\end{matrix}\right.\) ( tm )   ( bạn thế y=6 vào \(x=5+\dfrac{25}{y+5}\) nhé )

Xét tương tự, ta ra được nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=6\end{matrix}\right.\)  \(\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=10\end{matrix}\right.\)  \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=30\end{matrix}\right.\)

1.

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)

Từ đó ta được đpcm

2.

\(a,Sửa:a^6+a^4+a^2b^2+b^4-b^6\\ =\left(a^6-b^6\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2+1\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\\ =\left[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right]\left(a^2-b^2+1\right)\\ =\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-b^2+1\right)\\ b,=\left(a^3+b^3\right)-1+3ab\\ =\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-1+3ab\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+2ab+b^2+a+b+1\right)-3ab\left(a+b-1\right)\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+b^2+1+a+b-ab\right)\)

\(c,=a^2b^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(c-a+a-b\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =-a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(c-a\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(b^2c^2-a^2b^2\right)+\left(c-a\right)\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\\ =b^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)+c^2\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[b^2\left(c+a\right)-c^2\left(b+a\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b^2c+ab^2-bc^2-ac^2\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[bc\left(b-c\right)+a\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(bc+ab+ac\right)\)

cả 2 pt đều giải theo kiểu cái đầu nhóm với cái cuối, 2 cái ở giữa nhóm với nhau. sau đó giải theo cách đặt ẩn phụ

1) \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+2\right)\left(x+5\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+4\right)\right]-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+2x+10\right)\left(x^2+4x+3x+12\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)-24=0\)

Đặt \(x^2+7x=a\), nên ta có :

\(\left(a+10\right)\left(a+12\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+11-1\right)\left(x+11+1\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+11\right)^2-1\right]-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+11\right)^2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+11-5\right)\left(x+11+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x+16\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-6\\x=-16\end{cases}}\)

Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp

Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)

\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Ta thực hiện phép đổi biến thì:

\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)

Đến đây là phần của bạn

(Vào thống kê hỏi đáp xem ảnh nhé! 2 cách, cách đầu dùng kỹ thuật uvw, cách kia là SOS)

Ta có: \(a^2+b+\frac{3}{4}=a^2+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{2}\ge a+b+\frac{1}{2}\)

Và \(b^2+a+\frac{3}{4}\ge a+b+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4})\ge(a+b+\frac{1}{2})^2\)

Cần chứng minh \((a+b+\frac{1}{2})^2\ge\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{1}{4}+a+b+2ab\ge4ab+a+b+\frac{1}{4}\Leftrightarrow(a-b)^2\ge0\)

BDT cuối đúng hay \(VT\ge VP\)

Nên xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

a) \(\left(2x-1\right)^6=\left(2x-1\right)^8\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^6-\left(2x-1\right)^8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^6\left[1-\left(2x-1\right)^2\right]=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^6=0\\2x-1=1\\2x-1=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=1\\x=0\end{cases}}\)

phần b chuyển vế, đạt nhân tử chung....... làm tương tự phần a

a, Ta có :

\(\left(2x-1\right)^6=\left(2x-1\right)^8\) \(=\left(2x-1\right)^8-\left(2x-1\right)^6\) \(=\left(2x-1\right)^6\left[\left(2x-1\right)^2-1\right]\) = 0

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2-1=0\\\left(2x-1\right)^6=0\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\2x-1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}2x-1=1\\2x-1=-1\end{cases}}\\2x=1\end{cases}}}\)=> \(2x-1=0\) hoặc \(2x-1=-1\) hoặc \(2x-1=1\)

=> \(x=\frac{1}{2};x=0\) hoặc \(x=1\)

Vậy \(x=\frac{1}{2};x=0\) hoặc x = 1