Cho hàm số \(y=-x^3+3x-2\) có đồ thị (C). Tìm điểm N trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C) sao cho 3 hoành độ tiếp điểm \(x_1;x_2;x_3\) thỏa mãn \(x^3_1+x^3_2+x^3_3=21\)
Cho hàm số \(y=-x^3+3x+2\). Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Xét điểm \(M\left(m;0\right)\in Ox\).
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-m\right)\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^3+3x+2=k\left(x-m\right)\\-3x^2+3=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(3\left(x^2-1\right)\left(x-m\right)-\left(x^3-3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x^2-3\left(1+m\right)x+3m\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[2x^2-\left(3m+2\right)x+3m+2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\2x^2-\left(3x+2\right)x+3m+2=0\left(a\right)\end{array}\right.\)
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+2\right)\left(3m-6\right)>0\\3m+3\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{2}{3}Vm>2\\m\ne-1\end{cases}\) (*)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (a), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :
\(k_1=-3x_1^2+3;k_2=-3x_2^2+3;k_3=0\)
Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-1\right)=1\Leftrightarrow9x^2_1x^2_2-9\left(x_1+x_2\right)^2+18x_1x_2+8=0\left(i\right)\)
Mặt khác, theo định lý Viet, \(x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1x_2=\frac{3m+2}{2};\)
Từ đó (i) \(\Leftrightarrow9\left(3m+2\right)+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{26}{27}\) thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy \(M\left(-\frac{26}{27};0\right)\) là điểm cần tìm
a) tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x^3+3x-2 (c) tại điểm có hoành độ -3
b) viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (c) trên tại điểm ( ứng với tiếp điểm ) có hoành độ -3
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) có đồ thị (C). Gọi M, N là hai điểm phân biệt trên (C) sao cho hai tiếp tuyến M, N song song với nhau và đường thăng MN cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B khác O sao cho \(AB=\sqrt{10}\). Viết phương trình 2 tiếp tuyến đó
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 2 2 x + 3 biết tiếp tuyến đó cắt trục tung và trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân là
A. y = -x - 2
B. y = x + 2
C. y = x - 2
D. y = -x + 2
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) có đồ thị (C).
Gọi M, N là hai điểm phân biệt trên (C) sao cho 2 tiếp tuyến tại M, N song song với nhau và đường thẳng MN cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B khác O sao cho \(AB=\sqrt{10}\).
Viết phương trình hai tiếp tuyến đó.
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, N thì \(x_M;x_N\) là nghiệm của phương trình :
\(f'\left(x\right)=k\Leftrightarrow3x^2-6x-k=0\)
Để tồn tại hai tiếp điểm M, N thì phải có \(\Delta'>0\Leftrightarrow k>-3\)
Ta có \(y=f'\left(x\right)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-2x+2\)
Từ \(f'\left(x_M\right)=f'\left(x_N\right)=k\) suy ra phương trình đường thẳng MN là :
\(y=\left(\frac{k}{3}-2\right)x+2-\frac{k}{3}\), khi đó \(A\left(1;0\right);B\left(0;\frac{6-k}{3}\right)\)
Ta có \(AB^2=10\Leftrightarrow k=15\) (do k > -3)
Từ đó ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
\(y=15x-12\sqrt{6}-15\)
\(y=15x+12\sqrt{6}-15\)
Cho hàm số y = x 3 - 3 ( m + 3 ) x 2 + 3 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm A(-1;1) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C), Một tiếp tuyến là △ 1 : y = - 1 và tiếp tuyến thứ 2 là thoả mãn tiếp xúc với (C) tại N đồng thời cắt (C) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.
A. Không tồn tại m thoả mãn
Cho hàm số y = x 3 - 3 ( m + 3 ) x 2 + 3 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm A(-1;1) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C), Một tiếp tuyến là ∆ 1 : y = - 1 và tiếp tuyến thứ 2 là thoả mãn tiếp xúc với (C) tại N đồng thời cắt (C) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.
A. Không tồn tại m thoả mãn
B. m=2
C.m=0; m= -2
D. m= -2
Cho hàm số y = 4 x + 2 cos 2 x có đồ thị là (C). Hoành độ của các điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với trục hoành là
A. x = π 4 + k π k ∈ ℤ .
B. x = π 2 + k π k ∈ ℤ .
C. x = π + k π k ∈ ℤ .
D. x = k 2 π k ∈ ℤ .
Đáp án A.
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) là
y ' = 0 ⇔ 4 − 4 sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = π 4 + k π .
Cho hàm số y=\(x^3-3x^2-1\)có đồ thị (C).Điểm M(a;b) trên(C) có hoành độ thuộc [2;3] sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất.Khi đó, S=a+b=?
\(y'=3x^2-6x\)
Do M thuộc (C) nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M:
\(k=f\left(a\right)=3a^2-6a\)
\(f'\left(a\right)=6a-6>0;\forall a\in\left[2;3\right]\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến trên \(\left[2;3\right]\Rightarrow k_{max}\) khi \(a=3\)
\(\Rightarrow b=a^3-3a^2-1=-1\)
\(S=3-1=2\)