Cho hàm số \(y=x^4-2mx^2+m-1\left(1\right)\) với m là tham số thực.
Xác định m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Cho hàm số \(y=x^4-2mx^2+m-1\left(1\right)\), với m là tham số thực.
Xác định m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác biết :
a) Có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
b) Có trực tâm là gốc tọa độ
c) Có trọng tâm là gốc tọa độ
Ta có \(y=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=> m > 0. Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
\(A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};m^2+m-1\right);C\left(\sqrt{m};-m^2+m-1\right)\)
a) Ta có \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|y_C-y_B\right|=m^2\sqrt{m}\)
\(AB=AC=\sqrt{m^4+m};BC=2\sqrt{m}\)
\(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{\Delta ABC}}=1\Leftrightarrow\frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1\)
\(\Leftrightarrow m^3-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\) hoặc \(m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Vậy \(m=1;m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) là giá trị cần tìm
b) Vì B, C đối xứng nhau qua trục tung nên BC luôn vuông góc OA
Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\overrightarrow{OB}\left(-\sqrt{m};-m^2+m-1\right);\overrightarrow{AC}\left(\sqrt{m};-m^2\right)\)
Suy ra \(-m-m^2\left(-m^2+m-1\right)=0\Leftrightarrow m\left(-m^3+m^2-m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m-1\right)\left(m^2+1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc m = 1
Vậy m = 0 hoặc m = 1 là giá trị cần tìm
c) Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và truyên tuyến kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC
<=> \(y_A+2y_B=0\)
\(\Leftrightarrow m-1+2\left(-m^2+m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-3m+3=0\) vô nghiệm
Vậy không tồn tai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Tìm tất cả các giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^4-2mx^2+m-1\) có các điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x 4 - 2 m x 2 + m - 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
C. m = ± - 1 + 5 2
D. m = 1
Chọn B
Ta có :
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A ( 0 ; m - 1 ) , B ( - m ; - m 2 + m - 1 )
S ∆ A B C = 1 2 y B - y A x c - x B
Kết hợp điều kiện (*) ta có
[Phương pháp trắc nghiệm]
Áp dụng công thức
Kết hợp điều kiện (*) ta có
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x 4 - 2 m x 2 + m - 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
C. m = ± - 1 + 5 2
D. m = 1
Chọn B
Ta có :
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A ( 0 ; m - 1 ) , B ( - m ; - m 2 + m - 1 )
S ∆ A B C = 1 2 y B - y A x c - x B
Kết hợp điều kiện (*) ta có
[Phương pháp trắc nghiệm]
Áp dụng công thức
Kết hợp điều kiện (*) ta có
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2 m x 2 + m - 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án B.
Xét hàm số y = x 4 - 2 m x 2 + m - 1 , có y ' = 4 x 3 - 4 m x = 0 ⇔ [ x = 0 x 2 = m .
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.
Khi đó, gọi A(0;m - 1), B( m ; - m 2 + m - 1 ) và C ( - m ; - m 2 + m - 1 ) là 3 điểm cực trị của ĐTHS.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra H 0 ; - m 2 + m - 1 ⇒ A H = m 2 .
Diện tích tam giác ABC là S ∆ A B C = 1 2 . A H . B C = 1 2 m 2 . 2 m = m 2 m .
Và A B = A C = m 4 + m suy ra S ∆ A B C = A B . A C . B C 4 R ∆ A B C ⇒ A B 2 . B C = 4 S ∆ A B C
⇔ m 4 + m . 2 m = 4 m 2 m ⇔ m 4 - 2 m 2 + m = 0 ⇔ m m 3 - 2 m + 1 = 0 .
Kết hợp với m > 0 suy ra có 2 giá trị m cần tìm.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính tổng các phần tử của S.
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2 m x 2 + m có 3 điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hớn 1.
A. m < -1
B. m > 2 hoặc m < -1
C. m > 2
D. m > 0
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2 mx 2 + 2 m + m 4 có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính tổng các phần tử của S.
A.
B.
C. 0
D.
TXĐ: .
Ta có
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó ta có:
y' = 0
.
Ta có:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó ta có:
Khi đó tổng các phần tử của S là
Chọn C
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x 4 - 2 m x 2 + m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1
A. m < -1
B. m > 2
C. m ∈ ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )
D. Không tồn tại m
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0
Ba điểm cực trị là
Gọi I là trung điểm của B C ⇒ I ( 0 ; m - m 2 )
S ∆ A B C = 1 2 A I . B C = m m 2
Chu vi của ∆ A B C là:
Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ A B C là:
r = S ∆ A B C p = m m 2 m + m 4 + m
Theo bài ra: r > 1 ⇔ m m 2 m + m 4 + m > 1
⇔ m m 2 ( m + m 4 - m ) m 4 > 1 (vì m > 0 )
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Sử dụng công thức
Theo bài ra:
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.