x/(x+y+z)>x/(x+y+z+t)

tương tự cho 3 cái còn lại

=>M>x/(x+y+z+t)+y/(x+y+z+t)+z/(x+y+z+t)+t/(x+y+z+t)

=>m>(x+y+z+t)/(x+y+z+t)

=>M>1

x/(x+y+z)<1=>(x+t)/(x+y+t+z)>x/(x+y+z)

tương tự => M<2(x+y+z+t)/(x+y+z+t)

=> M<2

ta có 2>M>1=> m ko phải là số tự nhiên

tại sao x/(x+y+z)<1 thì bạn có thể suy ra (x+t)/(x+y+t+z)>x/(x+y+z)

mình thấy (x+t)/(x+y+z+t)cũng lớn hơn 1 cơ mà ( thấy vô lý kiểu gì ý)

Đặt A=x/x+y+z + y/x+y+t + z/y+z+t +t/x+z+t

-Chứng minh biểu thức nhỏ hơn 2 .

Ta có: A<x+t/x+y+z+t + y+z/x+y+t+z + z+x/y+z+t+x + t+y/x+t+y+z

A<x+t+y+z+z+x+t+y/x+y+t+z

A<2(x+t+y+z)/x+y+t+z

A<2

-Chứng minh biêu thức lớn hơn 1

A>x/x+y+t+z + y/x+y+t+z + t/x+y+z+t + z/x+y+t+z

A>x+y+t+z/z+x+y+t

A>1

Mà 1<A<2

Suy ra A không phải là STN

Có gì sai thì bạn sửa nhé

1<M<2

Vì \(x;y;z;t\in N\)^* nên ta có :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

=> M có giá trị không phải là số tự nhiên

Với\(x,y,z,t\in\)N*,ta có :\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y}\left(1\right)\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y}{x+y}\left(2\right);\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t}\left(3\right)\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\left(4\right)\)

Cộng (1),(2),(3),(4),vế theo vế,ta có :\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< M< \frac{x+y}{x+y}+\frac{z+t}{z+t}\)hay 1 < M < 2 

Vậy M không phải là số tự nhiên

Đinh Đức Hùng giải SAI nha 

như bạn Phan Thanh Tịnh mới đúng

Lời giải:

Với $x,y,z,t$ là số tự nhiên khác 0 thì:

$\frac{x}{x+y+z}> \frac{x}{x+y+z+t}$

$\frac{y}{x+y+t}> \frac{y}{x+y+z+t}$

$\frac{z}{y+z+t}> \frac{z}{x+y+z+t}$

$\frac{t}{x+z+t}> \frac{t}{x+y+z+t}$

$\Rightarrow M> \frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1$
$\Rightarrow M>1(*)$

Mặt khác:

Có: $\frac{x}{x+y+z}-\frac{x+t}{x+y+z+t}=\frac{-yt-tz}{(x+y+z)(x+y+z+t)}<0$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}$

Tương tự:

$\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}$

$\frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}$

$\frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}$

Cộng lại ta được: $M< \frac{(x+t)+(y+z)+(z+x)+(t+t)}{x+y+z+t}=2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M < 2$ nên $M$ không là số tự nhiên.

Vì x, y, z, t thuộc N* nên :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y}\left(1\right)\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{z+y+t}< \frac{y}{x+y}\left(2\right)\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t}\left(3\right)\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{x+y}\left(4\right)\)

Từ (1) (2) (3) và (4)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< M< \frac{x+y}{x+y}+\frac{z+t}{z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

\(\Rightarrow M\) không phải là số tự nhiên

Cái chỗ (4) là \(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\)nha mình nhầm