TH₁: a là số tự nhiên ⇒ a ≥ 0 ⇒ a + 1 > 0

⇒ a. (a + 1) > 0 ⇒ a. (a + 1) + 1 > 0

TH₂: a là số nguyên âm và a ≤ -2 ⇒ a + 1 < 0

⇒ a. (a + 1) > 0 ⇒ a. (a + 1) + 1 > 0

TH₃: a = -1 ⇒a. (a + 1) + 1 = -1.0 + 1 = 1 > 0

Ta có: \(a\left(a+1\right)+1\)

\(=a^2+a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall a\)

\(A=\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2=x^2-4x+3+2=\left(x^2-4x+4\right)+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

\(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{a^2+2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}{a^2-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}\)

\(=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}>0\) ( luôn đúng)

Ta có: \(a^2+a+1=a^2+a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

\(a^2-a+1=a^2-a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\forall a\in R\)

Ta có: a² +a+1=(a² +2a1/2+1/4 )+ 3/4 =(a+1/2)² +3/4 >0

 Tương tự: a² -a+1=( a-1/2 )² +3/4 >0

Vậy suy ra điều cần cm

Ta có :a ²+a+1=(a ²+a+1/4)+3/4=(a+1/2) ²+3/4

          a ²-a+1=(a ²-a+1/4)+3/4=(a-1/2) ²+3/4

Vì (a-1/2) ² ≥  0;(a-1/2)²≥  0 với mọi a nên suy ra điều phải chứng minh