1.A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.

vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:

A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) +...+ (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2) + 2³.(1 +2) +...+ 2⁵⁹.(1 +2)

A =2.3 + 2³.3  + ... + 2⁵⁹.3

A =3.( 2 + 2³+...+ 2⁵⁹)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹)⋮3 (đpcm)

áp dụng công thức là ra :))))

2, M = 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² ⋮ 6

   M = 3ⁿ⁺¹.(3² + 1) + 2ⁿ⁺².(2 + 1) 

    M = 3ⁿ.3.(9 + 1) + 2ⁿ⁺¹.2 . 3

    M = 3ⁿ.30 + 2ⁿ⁺¹.6

   M = 6.(3ⁿ.5 + 2ⁿ⁺¹)

   Vì 6 ⋮ 6 nên M = 6.(3ⁿ.5+ 2ⁿ⁺¹) ⋮ 6 (đpcm)

Với n=1n=1 thì đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng với n=kn=k tức là:

13+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)213+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)2

Ta sẽ cm (1) đúng với n=k+1n=k+1 tức là cm:

13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2

Thật vậy, ta có:

13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2

⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)

⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)

Mà: (k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3

Do đó (1) đúng với n=k+1n=k+1

Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm. 

13 là 1 mũ 3 mình ko bt viết mũ nhá

Bài 1. Ta chứng minh \(A=10^{150}+5\cdot10^5+1\) không là số lập phương. 

Bổ đề. Một số lập phương không âm bất kì chia cho 9 chỉ có thể dư là 0,1 hoặc 8.

Chứng minh. Xét \(x\) là số tự nhiên bất kì. Nếu \(x\) chia hết cho 3  thì \(x^3\)  hiển nhiên chia hết cho 9 nên số dư chia cho 9 bằng 0.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+1\to x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\) chia 9 có số dư là 1.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+2\to x^3=\left(3k+2\right)^3=27k^3+54k^2+18k+8\) chia 9 có số dư là 8.

Quay trở lại bài toán, ta thấy \(10\) chia 9 dư 1 nên \(A\) chia 9 dư là \(1+5+1=7\to\)\(A\) không thể là lập phương của số tự nhiên.

Bài 2. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n=****. Giả sử đúng đến n, thức là ta đã có \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2.\)

Khi đó \(1^3+2^3+\cdots+n^3+\left(n+1\right)^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3=\left(n+1\right)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}.\)

Do đó ta có \(1^3+2^3+\cdots+\left(n+1\right)^3=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(1+2+\cdots+n+\left(n+1\right)\right)^2\)

Đặt A=\(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

A<1+\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

A<\(1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

A<2-\(\dfrac{1}{n}\)

Vậy...

\(1^2+2^2+...+n^2=1+2\left(1+1\right)+...+n\left(n-1+1\right)=1+2+1.2+3+2.3+...+n+\left(n-1\right)n\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)+\left[1.2+2.3+...+\left(n-1\right)n\right]=\dfrac{\left(n+1\right)\left(\dfrac{n-1}{1}+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.3+...+\left(n-1\right)n.3}{3}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+...+\left(n-1\right)n\left[\left(n+1\right)-\left(n-2\right)\right]}{3}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3-1.2.3+2.3.4-...-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{3n\left(n+1\right)+2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}=\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n=\dfrac{1}{3}n\left(n^2+\dfrac{3}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{3}n\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\left(n+1\right)\)

Thiếu `n>0`

`1/2^2<1/(1.2)`

`1/3^2<1/(2.3)`

`.........`

`1/n^2<1/((n-1).n)`

`=>VT<1/(1.2)+1/(2.3)+.....+1/((n-1).n)`

`=>VT<1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=1-1/n<1`

Ta co:\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2},\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3},...,\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1-\dfrac{1}{n}\)

\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1\left(dpcm\right)\)