Ta có :

\(VT=\left(x-y\right)^2-\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2-2xy+y^2-x^2-2xy-y^2\)

\(=-4xy\)

Vậy : \(\left(x-y\right)^2-\left(x+y\right)^2=-4xy\) ( đpcm )

Ta có: (x-y)² - (x+y)² = x²-2xy+y²-(x²+2xy+y²)

= x²-2xy+y²-x²-2xy-y²

= -4xy

Vậy (x-y)² - (x+y)² = -4xy

vế trái = (x+y)²-(x-y)²=x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)=x²+2xy+y²-x²+2xy-y²=4xy = vế phải

=> Điều phải chứng minh

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(\forall x,y\))

-Vậy BĐT đã được c/m.

-Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

ta co

vt (x+y)²=x2+y2+2xy

=x2-2xy+y2+4xy≥ 4xy (dpcm)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)

\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)

\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)

\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)

\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)

a) Ta có:

VT = (x - y)² + 4xy

= x² - 2xy + y² + 4xy

= x² + 2xy + y²

= (x + y)²

= VP

b) Ta có:

(x + y)² = (x - y)² + 4xy

= 5² + 4.3

= 25 + 12

= 37

Bài này áp dụng lý thuyết đồ thị parabol lớp 10 thì khá đơn giản, chỉ việc tính delta và chứng minh nó \(\le0\) là xong, lớp 9 cứ biến đổi tương đương, đỡ phải tìm BĐT đau đầu:

Dấu "=" có xảy ra tại \(x=y=0\) cho nên BPT đúng phải là:

\(x^2y^4+2y^2\left(x^2+2\right)+x^2+4xy\ge4xy^3\)

\(\Leftrightarrow\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x^2-\frac{4y\left(y^2-1\right)}{\left(y^2+1\right)^2}x+\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\right]+4y^2-\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x-\frac{2y\left(y^2-1\right)}{y^2+1}\right]^2+\frac{16y^4}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\) (luôn đúng)

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP

(1+x²)(1+y²)+4xy+2(x+y)(1+xy)

 = 1+y²+x²+x²y²+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)

 =(x²+2xy+y²)+(x²y²+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y)²+(xy+1)²+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y+xy+1)²