Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

Chứng minh rằng \(f\left(x,y\right)=x^2y^4+2y^2\left(x^2+2\right)+x^2+4xy>4xy^3\)

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 5 2019 lúc 18:13

Bài này áp dụng lý thuyết đồ thị parabol lớp 10 thì khá đơn giản, chỉ việc tính delta và chứng minh nó \(\le0\) là xong, lớp 9 cứ biến đổi tương đương, đỡ phải tìm BĐT đau đầu:

Dấu "=" có xảy ra tại \(x=y=0\) cho nên BPT đúng phải là:

\(x^2y^4+2y^2\left(x^2+2\right)+x^2+4xy\ge4xy^3\)

\(\Leftrightarrow\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x^2-\frac{4y\left(y^2-1\right)}{\left(y^2+1\right)^2}x+\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\right]+4y^2-\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x-\frac{2y\left(y^2-1\right)}{y^2+1}\right]^2+\frac{16y^4}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\) (luôn đúng)


Các câu hỏi tương tự
poppy Trang
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết
Phạm Đức Minh
Xem chi tiết
hakito
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Huyền Trang
Xem chi tiết
Bánh Mì
Xem chi tiết
Clgt
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết