Ta có A = 1x(2-1) + 2x(3-1)+3x(4-1)+...+nx(n+1 - 1) Hay A = 1x2+2x3+3x4+...+nx(n+1)-(1+2+3+...+n) tách ra làm hai dãy thì hai dãy

B = 1x2+2x3+3x4+...+nx(n+1) (dãy này ra nx(n+1)x(n+2)/3) và

C = 1+2+3+..+n ra nx(n+1)/2 trừ đi là ra kết quả

Ta có A = 1x(2-1) + 2x(3-1)+3x(4-1)+...+nx(n+1 - 1) Hay A = 1x2+2x3+3x4+...+nx(n+1)-(1+2+3+...+n) tách ra làm hai dãy thì hai dãy B = 1x2+2x3+3x4+...+nx(n+1) (dãy này ra nx(n+1)x(n+2)/3) và C = 1+2+3+..+n ra nx(n+1)/2 trừ đi là ra kết quả

Tìm y biết 3 x y x (1/1 x 1/2 + 1/2 x 1/3 + 1/3 x 1/4 + 1/4 x 1/5 + 1/5 x 1/6) = 3/4

Ta thấy: 1/1x1/2 = 1/1-1/2  ;  1/2x1/3 = ½-1/3  ;  1/3x1/4=1/3-1/4  ;  1/4x1/5=1/4-1/5  ;  1/5x1/6=1/5-1/6

Nên

1/1 x 1/2 + 1/2 x 1/3 + 1/3 x 1/4 + 1/4 x 1/5 + 1/5 x 1/6 =

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6 = 1/1-1/6= 5/6

Hay 3 x y x 5/6 = 3/4

y x 15/6 = 3/4

y= 3/4 : 15/6

y  =  3/10

sợ sai lắm

`sqrta+1>sqrt{a+1}`

`<=>a+2sqrta+1>a+1`

`<=>2sqrta>0`

`<=>sqrta>0AAa>0`

`sqrt{a-1}<sqrta`

`<=>a-1<a`

`<=>-1<0` luôn đúng

`sqrt6-1>sqrt3-sqrt2`

`<=>sqrt6-sqrt3+sqrt2-1>0`

`<=>sqrt3(sqrt2-1)+sqrt2-1>0`

`<=>(sqrt2-1)(sqrt3+1)>0` luôn đúng

https://olm.vn/hoi-dap/detail/54833154236.html

a) \(A=\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{60}\right)+...+\frac{1}{70}\)

Nhận xét:

\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}\ge\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}\ge\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{60}\ge\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\)

\(A\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{61}...+\frac{1}{70}\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}\)

Sorry ,tất cả dấu lớn hơn hoặc bằng đổi thành dấu > nhé 

còn câu b

\(\dfrac{1}{a^3}< \dfrac{1}{\left(a-1\right).a.\left(a+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow a^3>a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) vì \(a\inℕ\)

\(\Leftrightarrow a^3>a\left(a^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3>a^3-a\)

\(\Leftrightarrow-a< 0\) (đúng do \(a\inℕ\)) 

Suy ra đpcm.