ý bạn là chứng minh \(\sqrt{HB.HC}=\sqrt[3]{BD.CE.BC}\)

tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao 

\(\Rightarrow HB.HC=AH^2\Rightarrow\sqrt{HB.HC}=AH\)

Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.HC\right)^2=BH^2.CH^2\)

tam giác AHB vuông tại H có HD là đường cao \(\Rightarrow BH^2=BD.BA\)

tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao \(\Rightarrow CH^2=CE.CA\)

\(\Rightarrow BH^2.CH^2=BD.BA.CE.CA=BD.CE.\left(AB.AC\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao \(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow BD.CE.\left(AB.AC\right)=BD.CE.AH.BC\Rightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)

\(\Rightarrow BD.CE.BC=AH^3\Rightarrow\sqrt[3]{BD.CE.BC}=AH\)

\(\Rightarrow\sqrt{HB.HC}=\sqrt[3]{BD.CE.BC}\)

Dễ dàng chứng minh được:  \(HEAD\)là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)\(HE=AD=12\)

          \(HD=EA=18\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

       \(HD^2=AD.DC\)

\(\Rightarrow\)\(DC=\frac{HD^2}{AD}\)

\(\Rightarrow\)\(DC=\frac{18^2}{12}=27\)

\(\Rightarrow\)\(AC=AD+DC=12+27=39\)

            \(HE^2=BE.AE\)

\(\Rightarrow\)\(BE=\frac{HE^2}{AE}\)

\(\Rightarrow\)\(BE=\frac{12^2}{18}=8\)

\(\Rightarrow\)\(AB=BE+EA=8+18=26\)

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AFH:

\(AH^2=AF^2+HF^2=HE^2+HF^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB với đường cao HF:

\(HF^2=AF.FC\)

Tương tự:

\(HE^2=AE.EB\)

\(\Rightarrow AH^2=HE^2+HF^2=AE.EB+AF.FC\) (đpcm)