a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)

\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)

\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)

\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)

\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

=>b+c>a và a+b>c và a+c>b

=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0

=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0

=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0

=>A<0

\(b^2+c^2-a^2-2bc=\left(b^2-2bc+c^2\right)-a^2=\left(b-c\right)^2-a^2=\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

\(=\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)\)

vì \(b< c+a;b>c-a\)(bđt tam giác )\(\Rightarrow b-\left(c+a\right)< 0;b-\left(c-a\right)>0\Rightarrow\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)< 0\)

\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2-2bc< 0\Rightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2< \left(2bc\right)^2=4b^2c^2\)

\(\Rightarrow A=\left(b^2+c^2-a^2\right)-4b^2c^2< 0\)

Đinh Quang Hiệp bài đó còn cách giải nào khác ko.

trong \(1\) tam giác , ta luôn có :

\(b-c< a\) 

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2< \left(2bc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

a)

\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2\)

\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2\)

\(A=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\)

\(A=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]\)

\(A=(b-c+a)(b-c-a)(b+c-a)(b+c+a)\)

b)

Viết lại: \(A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)\)

Nếu $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác:

Hiển nhiên \(b+c+a>0\)

\(b+a>c, b+c>a, a+c>b\)

\(\Rightarrow b+a-c, c+a-b, b+c-a>0\)

Do đó: \((b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)>0\)

\(\Rightarrow A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)< 0\)

Tức là A nhận giá trị âm (đpcm)

$A={\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2-4b^2{c}^2$

=(b²+c²-a²-2bc)(b²+c²-a²+2bc)

=[(b²-2ab+c²)-a²][(b²+2bc+c²)-a²]

= [(b-c)²-a²][(b+c)²-a²]

=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)

Ta có: (b^2 +c^2 -a^2)^2 -4b^2 .c^2

=(b^2 +c^2 -a^2)^2 -(2bc)^2

=(b^2 +c^2 -a^2 -2bc)(b^2 +c^2 -a^2 +2bc)

=(b^2 +c^2 -2bc -a^2) (b^2 +c^2 +2bc -a^2)

=[ (b-c)^2 -a^2] [(b+c)^2 -a^2]

=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: b-c-a<0 ,b-c+a>0 ,b+c-a>0 và b+c+a>0

Do đó: (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)<0

Vậy (b^2 +c^2 -a^2)- 4b^2 .c^2 <0

Chúc bạn học tốt.