b) Xét ΔADK vuông tại A và ΔHDC vuông tại H có 

DA=DH(cmt)

\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔADK=ΔHDC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: AK=HC(hai cạnh tương ứng) và DK=DC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA+AK=BK(A nằm giữa B và K)

BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)

mà BA=BH(ΔABD=ΔHBD)

và AK=HC(cmt)

nên BK=BC

Ta có: BK=BC(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DK=DC(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của KC

hay BD\(\perp\)KC(đpcm)

a) Xét ΔADB vuông tại A và ΔHDB vuông tại H có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABH}\))

Do đó: ΔADB=ΔHDB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AD=HD(hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔDKC có DK=DC(cmt)

nên ΔDKC cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)(hai góc ở đáy)

a/ xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác HBD vuông tại H, ta có:

BD là cạnh chung

góc B là góc chung ( gt )

do đó : tam giác ABD = tam giác HBD ( ch - gn )

=> AD = HD

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

góc ABD=góc HBD

=>ΔBAD=ΔBHD

=>AD=HD

b: Xét ΔBHK vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

BH=BA

góc HBK chung

=>ΔBHK=ΔBAC

=>BK=BC

=>ΔBKC cân tại B

mà BD là phân giác

nên BD vuông góc KC

a) Xét tam giác ABD và tam giác BHD có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^0\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)(giả thiết)

BD - cạnh chung

\(\Rightarrow\)tam giác ABD = tam giác HBD (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AD=HD\)(2 cạnh tương ứng)

b) Kéo dài BD cắt KC tại I

Xét tam giác ADK và tam giác HDC có:

AD = HD (theo chứng minh câu a)

\(\widehat{DAK}=\widehat{DHC}=90^0\)

\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)tam giác ADK = tam giác HDC (g - c - g)

\(\Rightarrow AK=HC\)

Ta có: BK = AB+AK

         BC = BH + HC

\(\Rightarrow BK=BC\)

Xét tam giác BKI và tam giác BIC có:

BI - cạnh chung

\(\widehat{KBI}=\widehat{CBI}\)(gt)

BK = BC (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\)tam giác BKI = tam giác BCI (c - g - c)

\(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{BIC}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow IK=IC\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{BKI}=\widehat{BCI}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BIK}+\widehat{BIC}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{BIC}=\frac{1}{2}180^0=90^0\)

Vậy BD vuông góc với KC tại I

c) Ta có: tam giác BDK = tam giác BDC (c - g - c) (bạn tự chứng minh nhé)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BCD}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BKI}+\widehat{DKI}=\widehat{BKI}=\widehat{BCI}=\widehat{BCD}+\widehat{DCK}\)

\(\Rightarrow\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)

d) Ta có: AD + AK > KD (theo bất đẳng thức trong tam giác) (1)

KD > KI (theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AD+AK>KI\)

Mà \(KI=\frac{1}{2}KC\)

\(\Rightarrow AD+AK>\frac{1}{2}KC\)

\(\Rightarrow2\left(AD+AK\right)>KC\)

a) vì D thuộc fân giác góc B => AD=DH

b) do KH vuông góc BC , CA vuông góc BK

=>giao điểm D là trực tâm của tam giác BKC

=>BD vuông góc KC

c) xét tam giác vuông KAD và tam giác vuông CHD có: 

AD=DH ; góc ADK=góc HDC (đối đỉnh) => hai tam giác vuông trên bằng nhau

=> DK = DC ( cạnh tương ứng)

=> tam giác KDC cân tại D

=>góc DKC = góc DCK

d)xét tam giác ADK có :AD+AK> KD  => 2(AD+AK)> 2KD   (1)

xét tam giác KDC có  : KD+DC >.KC

mà KD=DC => 2KD>KC         (2)

Từ (1) ;(2) ta có 2(AD+AK) > KC

VẾ (1) VÀ(2) LÀ DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC ĐÓ BẠN!

hình đơn giản nên bạn tự vẽ ha!

a) Xét \(\Delta\)vuông ABD và \(\Delta\)vuông HBD có: 

    BD: cạnh chung 

    \(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{HBD}\)(  do BD là đường phân giác của tam giác ABC) 

   Do đó: \(\Delta\)ABD= \(\Delta\)HBD ( ch-gn) 

 => AD=HD (2 cạnh tương ứng) 

b) Xét \(\Delta\)vuông DAK và \(\Delta\)vuông DHC có: 

    AD=HD (cmt) 

    \(\widehat{ADK}\)=\(\widehat{HDC}\)(đối đỉnh) 

    Do đó :\(\Delta\)DAK =\(\Delta\)DHC (cgv-gn) 

=> AK=HC (2 cạnh tương ứng) 

Ta có: BA+AK=BK 

          BH+HC=BC 

 MÀ : BA=BH ( do \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)HBD) 

        AK=HC ( cmt) 

nên BK=BC 

=> \(\Delta\)BKC cân tại B 

Xét \(\Delta\)BKC cân tại B có BD là tia phân giác của góc KBC 

=> BD cũng là đường cao của tam giác BKC 

 => BD vuông KC 

c) Vì \(\Delta\)DAK=\(\Delta\)DHC (cmt)

=> DK=DC (2 cạnh tương ứng)

=> tam giác DKC cân tại D 

=> góc DKC = góc DCK 

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

góc ABD=góc HBD

=>ΔBAD=ΔBHD

=>DA=DH

=>DA<DC

b: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDHC vuông tại H có

DA=DH

gócADK=góc HDC

=>ΔDAK=ΔDHC

=>DK=DC và AK=HC

=>BK=BC và góc DKC=góc DCK

c: BK=BC

DK=DC

=>BD là trung trực của KC

=>BD vuông góc KC