Tham khảo:

Đề thi đại học môn Toán khối A năm 2014

tự làm

44444445

Phương trình đường thẳng AM: \(ax+by-\dfrac{11}{2}a-\dfrac{1}{2}b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

Giả sử cạnh hình vuông có độ dài là \(a\)

\(AM^2=\dfrac{5}{4}a^2;AN^2=\dfrac{10}{9}a^2;MN^2=\dfrac{25}{36}a^2\)

Theo định lí cos: \(cosMAN=\dfrac{AM^2+AN^2-MN^2}{2.AM.AN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\3a=-b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AM:3x+y-17=0\\AM:x-3y-4=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(AM:3x+y-17=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}3x+y-17=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(4;5\right)\)

TH2: \(AM:x-3y-4=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-4=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(1;-1\right)\)

Đề bài phải sửa thành AN=NC mới c/m được

MA=MB (gt)

AN=NC (gt)

=> MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có

\(BC\perp AB\) mà MN//BC => \(MN\perp AB\) (1)

Ta có

\(BC=AB\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}\)

Mà \(MA=MB=\dfrac{AB}{2}\)

=> MN = MA (2)

Từ (1) và (2) => tg AMN vuông cân tại M

Đặt \(AB=a\), qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q

Theo Talet: \(\Rightarrow\dfrac{NQ}{AD}=\dfrac{CQ}{CD}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow NP=\dfrac{3a}{4}\\CQ=BP=\dfrac{a}{4}\Rightarrow DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\\\end{matrix}\right.\) 

Pitago tam giác ADM: \(DM^2=AM^2+AD^2=\dfrac{5a^2}{4}\)

Pitago tam giác MNP: \(MN^2=MP^2+PN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)

Pitago tam giác DQN: \(DN^2=DQ^2+QN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=DN\\MN^2+DN^2=DM^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta DMN\) vuông cân tại N

Gọi I là trung điểm DM \(\Rightarrow IN\perp DM\)

Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc DM có dạng:

\(0\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=0\)

Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(-\dfrac{5}{2};0\right)\Rightarrow IN=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow DI=IN=\dfrac{5}{2}\)

Do D thuộc x-1=0 nên tọa độ có dạng \(D\left(1;d\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{ID}=\left(0;d-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left|d-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{5}{2}\Rightarrow d=-2\)

\(\Rightarrow D\left(1;-2\right)\)

Từ đây dễ dàng xác định tọa độ các điểm còn lại.

Gọi K là giao điểm AC và DM, theo Talet: 

\(\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{KM}{DK}=\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DK=\dfrac{2}{3}DM=\dfrac{4}{3}DI\\AK=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{4}{9}AN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{DK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{DI}\Rightarrow\) tọa độ K

\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{AN}\Rightarrow\) tọa độ A

Tọa độ D, tọa độ I \(\Rightarrow\) tọa độ M \(\Rightarrow\) tọa độ B

\(\Rightarrow\) Tọa độ C