đặt a²+4 là x; b²+5 là y

ta có \(\frac{a^2+4}{b^2+5}+\frac{b^2+5}{a^2+4}\ge2\)

⇔ \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

⇔ \(\frac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)

⇔ x² + y² ≥ 2xy

⇔ x² - 2xy + y² ≥ 0

⇔ ( x - y )² ≥ 0 (luôn luôn đúng )

vậy \(\frac{a^2+4}{b^2+5}+\frac{b^2+5}{a^2+4}\ge2\)

Vì vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử

\(a\ge b\ge c>0\)

Ta có: \(2b\left(a+c\right)^2-\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2b\left(a+c\right)^2\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Khi đó:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4ac}{\left(a+c\right)^2}\) (1)

Mà \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4ac}{\left(a+c\right)^2}-2=\frac{\left(a^2+c^2-ab-bc\right)^2}{\left(a+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}\ge0\) (2)

Từ (1) và (2) =>Đpcm

Ta dễ dàng chứng minh được  \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\ge1\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+a^2}{ab+bc+ac+a^2}=\frac{2a^2+b^2+c^2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

Suy ra cần chứng minh \(\frac{2a^2+b^2+c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\)

Điều này tương đương với \(\left(b+c\right)\left(2a^2+b^2+c^2\right)+8abc\ge2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2b+2a^2c+b^3+b^2c+c^2b+c^3+8abc\ge2\left(2abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2-2bc+c^2\right)\left(b+c-2a\right)\ge0\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\left(b+c-2a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đặt  \(P=a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta được:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\)

Áp dụng bất đẳng thức  Cô-si với bộ  \(\left(a+b\right)^2\) và  \(\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta có:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\ge2\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2}-2ab=2\left(1+ab\right)-2ab=2\)

moi hok lop 6

\(a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) \(\forall a\)

\(P=\frac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}=\sqrt{a^2+a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}\ge2\) (Cô-si)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2+a+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM

\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)

Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM

Bài 2:

Quy đồng  BĐT trên ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)

Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM 

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)

Tương tự rồi cộng theo vế

Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

Tích chéo bình phương chuyển vế

\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Ta có: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\left(\sqrt{a^2+1}\right)^2+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

Áp dụng bđt cô - si, ta có:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.\sqrt{a^2+1}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)