Xét ΔABC có

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

hay \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Ta có: BD+CD=BC

nên BC=17,5cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{25}{16}=\dfrac{1225}{4}\)

\(\Leftrightarrow AC^2=196\)

hay AC=14cm

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC=10.5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=8.4\left(cm\right)\\BH=6.3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

 BÀI 1:

a)

·         Trong ∆ ABC, có:     AB²= BC.BH

                           Hay BC= =

·         Xét ∆ ABC vuông tại A, có:

    AB²= BH²+AH²

↔AH²= AB² – BH²

↔AH= =4 (cm)

b)

·         Ta có: HC=BC-BH

      àHC= 8.3 - 3= 5.3 (cm)

·         Trong ∆ AHC, có:    

·                                         

Bài 1:

a)  Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{AB^2}{BH}\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{5^2}{3}=\frac{25}{3}\)

Áp dụng Pytago ta có:

     \(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow\)\(AH=4\)

b)  \(HC=BC-BH=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{\left(\frac{16}{3}\right)^2}=\frac{25}{256}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{HE}=\frac{5}{16}\)

\(\Rightarrow\)\(HE=\frac{16}{5}\)

Bài 1 : cho tg ABC vuông ở A đường cao AH , biết AH = 16 CH = 25 . Tính AB,AC, BC, BH

Bài làm :

Áp dụng định lý 2 của hệ thức lượng giác trong tam giác ta có :

\(AH^2=BH.CH=>BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{16^2}{25}=10,24\left(\text{đ}v\text{dd}\right)\)

=> BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24 (dvdd)

Áp dụng định lý 1 của hệ thức lượng giác trong tam giác ta có :

\(AB^2=BH.BC=>AB=\sqrt{\left(10,24.35,24\right)}=\sqrt{360,8576}\left(dv\text{dd}\right)\)

Áp dụng Định lý py- ta - go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=>AC=\sqrt{\left(30,24^2-\left(\sqrt{360,8576}\right)^2\right)}=\sqrt{553,6}\left(dv\text{dd}\right)\)

Bài 2 :

Vì AD là đường phân giác nên ta có : \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{51}{68}=\dfrac{3}{4}\) => \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}\)

BC = BD + CD = 51 + 68 =119 (cm)

Ta có :

\(\dfrac{AB^2}{AB^2+AC^2}=\dfrac{9}{25}=\dfrac{AB^2}{BC^2}=>AB=\sqrt{\dfrac{119^2.9}{25}}=71,4\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Py - ta - go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=>AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{\left(119^2-71,4^2\right)}=95,2\left(cm\right)\)

Vậy.............

Cho mình sửa lại bài 2 vì làm thiếu ! :P

Bài 2 :

Ta có :

BC = BD + CD = 51 + 68 = 119 (cm)

Vì AD là đường phân giác nên ta có :

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{51}{68}=\dfrac{3}{4}\)

Ta có :

\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}\)

\(\dfrac{AB^2}{AB^2+AC^2}=\dfrac{9}{3^2+4^2}=\dfrac{9}{25}=\dfrac{AB^2}{BC^2}=>AB=\sqrt{\dfrac{BC^2.9}{25}}=\sqrt{\dfrac{119^2.9}{25}}=71,4\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý py - ta - go

Ta có :

\(AB^2+AC^2=BC^2=>AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{\left(119^2-71,4^2\right)}=95,2\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý 1 của hệ thức lượng giác trong tam giác vuông ta có :

\(AB^2=BH.BC=>BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{71,4^2}{119}=42,84\left(cm\right)\)

=> CH = 119 - 42,84 = 76,16 (cm)

góc ADI=90 độ-góc ABD

góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

mà góc ABD=góc DBC

nên góc ADI=góc AID

=>AI=AD
Xét ΔBHA có BI là phân giác

nên IH/IA=BH/BA

Xet ΔBAC vuông tại A có AH vuông góc BC

nên BA^2=BH*BC

=>BH/BA=BA/BC=IH/IA

=>IH=BA/BC*IA=BA/BC*AD

=>IH/AD=BA/BC

=>IH/AD=AD/DC

=>AD^2=IH*DC

Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên BC=7,5+10=17,5(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{7.5}{10}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{25}{16}=17.5^2\)

\(\Leftrightarrow AC=14\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{4}\cdot AC=\dfrac{3}{4}\cdot14=10,5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot17.5=10.5\cdot14\\BH\cdot17.5=10.5^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=8,4\left(cm\right)\\BH=6,3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(BC=BD+CD=17,5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng Pitago:

\(AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2=\left(17,5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=196\Rightarrow AC=14\)

\(\Rightarrow AB=10,5\left(cm\right)\)

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=8,4\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,3\left(cm\right)\)

\(HD=BD-BH=1,2\left(cm\right)\)