Giả sử \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c:\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\) được thương là \(x+d\)

Theo bài ra ta có

\(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c=\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\left(x+d\right)\)

\(=x^4+3x^3-9x^2-3x+dx^3+3dx^2-9dx-3d\)

\(=x^4+x^3\left(3+d\right)+x^2\left(3d-9\right)+x\left(-3-9d\right)-3d\)

Áp dụng đồng nhất thức ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}3+d=-4\\3d-9=5a\\-3-9d=-4b\\-3d=c\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}d=-7\\5a=-21-9=-30\\-4b=-3+63=60\\c=21\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=-6\\b=-15\\c=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\)

Lời giải:

Đặt \(A=x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\)

Biến đổi:

\(A=x(x^3+3x^2-9x-3)-7(x^3+3x^2-9x-3)+30x^2+5ax^2-60x-4bx+c-21\)

\(\Leftrightarrow A=(x-7)(x^3+3x^2-9x-3)+x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)

Thấy rằng bậc của \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\) nhỏ hơn bậc của \(x^3+3x^2-9x-3\)

Do đó khi chia $A$ cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì số dư là \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)

Để phép chia hết thì số dư là $0$, tức là:

\(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21=0\forall x\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 30+5a=0\\ 60+4b=0\\ c-21=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-6\\ b=-15\\ c=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\) (đpcm)

ta có x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c

= ( x^3+3x^2-9x-3)( x+m)

= x^4+ ( m+3)x^3 + (3m-9)x^2 - ( 9m+3)x -3m

=> m+3 = -4 => m=-7

     3m -9 =5a => a=-6

      9m +3 = 4b => b=-15

      -3m=c => c= 21

vậy a+b+c =0

bạn ơi ko bấm vào đc link

 x⁴-4x³+5ax²-4bx+c = x. (x³ + 3x² - 9x - 3) - 3x³ + 9x² + 3x - 4x³ + 5ax² - 4bx + c

= x. (x³ + 3x² - 9x - 3) - 7x³ + (5a + 9)x² + (3 - 4b)x + c

= x. (x³ + 3x² - 9x - 3) - 7 .(x³ + 3x² - 9x - 3) + 21x² - 63x - 21 + (5a + 9)x² + (3 - 4b)x + c

= (x - 7)(x³ + 3x² - 9x - 3) + (5a + 30)x² + (-4b - 60) x + c - 21

=> Đa thức  x⁴-4x³+5ax²-4bx+c chia cho (x³ + 3x² - 9x - 3) được thương là x - 7 và dư (5a + 30)x² + (-4b - 60) x + c - 21

Phép chia là phép chia hết nên dư = 0

=> (5a + 30)x² + (-4b - 60) x + c - 21 = 0 với mọi x

=> 5a + 30 = -4b - 60 = c - 21 = 0

=> a = -6; b = -15; c = 21 => a +b + c = 0

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30+5a=0\\60+4b=0\\c-21=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a=-30\\4b=-60\\c=0+21\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-6\\b=-15\\c=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c=\left(-6\right)+\left(-15\right)+21\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!