Question

Chứng minh rằng nếu :

\(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c⋮x^3+3x^2-9x-3\)

Thì a+b+c=0

 

Answer 1

 Vì đa thức 4x3+ax+b4x3+ax+b chia hết cho đa thức x−2x−2 và x+1x+1 nên gọi thương của phép chia 4x3+ax+b4x3+ax+b cho x−2x−2 và x+1x+1 lần lượt là A(x) và B(x)

\Rightarrow 4x3+ax+b4x3+ax+b = (x−2)A(x)(x−2)A(x) (1)

4x3+ax+b4x3+ax+b = (x+1)B(x) (2)

Vì (1) và (2) thỏa mãn với \forall  x nên cho x lần lượt bằng x = 2 và x = −1 ta được 32+2a+b=0 hay 2a+b = −32 x nên cho x lần lượt bằng x = 2 và x = −1 ta được 32+2a+b=0 hay 2a+b = −32

-4-a+b=0 \Leftrightarrow b-a=4

\Rightarrow 2a+b-b+a=-36

\Rightarrow 3a = -36 hay a = -12

\Rightarrow b= -12+4 = -8

Vậy: 2a−3b=−24+24 = 02a−3b=−24+24 = 0      

Answer 2

Theo đề bài ta có :

\(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c⋮x^3+3x-9x-3\)

\(\Rightarrow x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\)

\(=\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\left(x+m\right)\)

\(=x^4+\left(m+3\right).x^3+\left(3m-9\right).x^2-\left(9m+3\right).x-3m\)

\(\Rightarrow m+3=-4\Rightarrow m=-7\)

\(3m-9=5a\)

\(\Rightarrow a=-6\)

\(9m+3=4b\)

\(\Rightarrow b=-15\)

\(-3m=c\)

\(\Rightarrow c=21\)

Vậy \(a+b+c=-6-15+21=0\)

Answer 3

Mình tl lại nhé 

Đặt A=x4−4x3+5ax2−4bx+cA=x4−4x3+5ax2−4bx+c

Biến đổi:

A=x(x3+3x2−9x−3)−7(x3+3x2−9x−3)+30x2+5ax2−60x−4bx+c−21A=x(x3+3x2−9x−3)−7(x3+3x2−9x−3)+30x2+5ax2−60x−4bx+c−21

⇔A=(x−7)(x3+3x2−9x−3)+x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21⇔A=(x−7)(x3+3x2−9x−3)+x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21

Thấy rằng bậc của x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21 nhỏ hơn bậc của x3+3x2−9x−3x3+3x2−9x−3

Do đó khi chia AA cho x3+3x2−9x−3x3+3x2−9x−3 thì số dư là x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21

Để phép chia hết thì số dư là 00, tức là:

x2(30+5a)−x(60+4b)+c−21=0∀xx2(30+5a)−x(60+4b)+c−21=0∀x

⇒⎧⎩⎨⎪⎪30+5a=060+4b=0c−21=0⇔⎧⎩⎨⎪⎪a=−6b=−15c=21⇒{30+5a=060+4b=0c−21=0⇔{a=−6b=−15c=21

⇒a+b+c=0⇒a+b+c=0 (đpcm)