Question

chứng minh rằng nếu \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\) chia hết cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì a+b+c=0

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(A=x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\)

Biến đổi:

\(A=x(x^3+3x^2-9x-3)-7(x^3+3x^2-9x-3)+30x^2+5ax^2-60x-4bx+c-21\)

\(\Leftrightarrow A=(x-7)(x^3+3x^2-9x-3)+x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)

Thấy rằng bậc của \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\) nhỏ hơn bậc của \(x^3+3x^2-9x-3\)

Do đó khi chia $A$ cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì số dư là \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)

Để phép chia hết thì số dư là $0$, tức là:

\(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21=0\forall x\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 30+5a=0\\ 60+4b=0\\ c-21=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-6\\ b=-15\\ c=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\) (đpcm)