a)  Áp dụng định lý Pytago ta có:   

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC^2=5^2+12^2=169\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=13\)

b)  ÁP dụng hệ thức lượng ta có: 

     \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}\)

    \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{25}{13}\)

c)  \(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\)           \(cos=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\)

     \(tanB=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5}\)          \(cotB=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}\)

tam giác ABC vuông tại A có
* BC²=AB²+AC²
  BC²=9²+12²=225
  BC=15cm
* AH.BC=AB.AC
  AH.15=9.12
AH.15=108
  AH=7,2cm
\(sinB=\dfrac{4}{5};cosB=\dfrac{3}{5};tanB=\dfrac{4}{3};cotanb=\dfrac{3}{4}\)
\(=>sinC=\dfrac{3}{5};cosC=\dfrac{4}{5};tanC=\dfrac{3}{4};cotanC=\dfrac{4}{3}\)

b)
tam giác ABC vuông tại A có
AC.AK=AH²
HB.HC=AH²
=>AC.AK=HB.HC
\(=>\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{HB}{AK}\)

1:

 cot B=5/8

=>tan B=8/5

=>AC/AB=8/5

=>AC=8cm

=>BC=căn 5^2+8^2=căn 89(cm)

Giải:

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=13(cm)

b: Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}\)

\(\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{13}\)

\(\tan\widehat{B}=\dfrac{12}{5}\)

\(\cot\widehat{B}=\dfrac{5}{12}\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=21\\AC^2=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{21}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

\(\cos\widehat{B}=\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

\(\tan\widehat{B}=\cot\widehat{C}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\cot\widehat{B}=\tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

a: Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=5(cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=2,4\left(cm\right)\\BH=1,8\left(cm\right)\\CH=3,2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao 

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao 

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)