1.

Do \(\overrightarrow{v}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{v}=\left(a;a\right)\) với a là số thực khác 0

Chọn \(M\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=a+0=a\\y_{M'}=a+0=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;a\right)\)

Thay vào pt d' ta được:

\(a+a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{2}\)

2.

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\)

Gọi \(A\left(0;1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{u}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=a\\y_{A'}=b+1\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A' vào pt d' ta được: \(a+b+1-5=0\Leftrightarrow a+b=4\)

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=2\)

3.

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=4\) (1)

Gọi \(A\left(-1;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=-1+a\\x_{B'}=-1+b\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt d':

\(2\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow2a+2b=5\Rightarrow b=\frac{5-2a}{2}\)

Thế vào (1):

\(a^2+\left(\frac{5-2a}{2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow8a^2-20a+9=0\)

Pt trên có 2 nghiệm pb nên có 2 vecto thỏa mãn

Câu 1:

Lấy $M(x,y)\in (d)$. $M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}}(M)$

\(\left\{\begin{matrix} x'-x=2\\ y'-y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'-2\\ y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ có dạng:

$3(x'-2)-2(y'+1)+1=0$

$\Leftrightarrow 3x'-2y'-7=0$

Câu 2:

$M(x,y)$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(C)$.

Lấy $M'(x',y')$ là 1 điểm thuộc $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $\overrightarrow{v}$

Khi đó, $M'=T_{\overrightarrow{v}}(M)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x'-x=-3\\ y'-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'+3\\ y=y'-5\end{matrix}\right.\)

PTĐTr $(C')$ có dạng:

$(x'+3)^2+(y'-5)^2-4(x'+3)+6(y'-5)+5=0$

$\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-4y'-3=0$

Lấy M tùy ý. Gọi (M) = M', (M') = M''. Ta có
\(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M''}=2\overrightarrow{M_oM'}+2\overrightarrow{M'M_1}=2\overrightarrow{M_oM_1}\)\(=2\dfrac{\overrightarrow{v}}{2}=\overrightarrow{v}\).

Vậy M'' = (M) = ((M)), với mọi M

Do đó phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d'.

Chắc pt d là \(3x+5y+3=0\) ?

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=2\) (1)

Gọi \(M\left(-1;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=-1+a\\y_{M'}=b\end{matrix}\right.\) thay vào pt (d') ta được:

\(3\left(-1+a\right)+5b-5=0\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{8-3a}{5}\)

Thế vào (1): \(a^2+\left(\frac{8-3a}{5}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow34a^2-48a+14=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\Rightarrow b=1\\a=\frac{7}{17}\Rightarrow b=\frac{23}{17}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{v}=\left(1;1\right)\\\overrightarrow{v}=\left(\frac{7}{17};\frac{23}{17}\right)\end{matrix}\right.\)

điểm M đặt bao nhiêu cũng được à bạn? tại thầy mình hay lấy mấy điểm là (0,1) :V

d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(3x+4y+c=0\)

Gọi \(A\left(0;-\frac{5}{4}\right)\) là 1 điểm thuộc d, A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có \(A'\left(1;-\frac{17}{4}\right)\) mà A' thuộc d'

\(\Rightarrow3.1+4.\left(-\frac{17}{4}\right)+c=0\Rightarrow c=14\)

Phương trình d': \(3x+4y+14=0\)

\(d\left(d;d'\right)=d\left(A;d'\right)=\frac{\left|0+4\left(-\frac{17}{4}\right)+14\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{3}{5}\)

thanks bn nhiu nhesss!!!!

vì \(\overrightarrow{W}\) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\) nên ta đặc \(\overrightarrow{W}\left(2k;-3k\right)\)

theo công thức ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2k\\y'=y-3k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2k\\y=y'+3k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x'-2k\right)-3\left(y+3k\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow2x'-4k-3y'-9k+3=0\Leftrightarrow2x'-3y'-13k+3\left(1\right)\)

để \(\left(1\right)\) là đường thẳng \(d\) thì : \(-13k+3=-5\Leftrightarrow k=\dfrac{8}{13}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{W}\left(\dfrac{16}{13};-\dfrac{24}{13}\right)\) vậy \(\overrightarrow{W}\left(\dfrac{16}{13};-\dfrac{24}{13}\right)\)