bài 1 : AH = \(\sqrt{119}\)cm
bài 2 : BN = \(\sqrt{49.54}\)cm

* hình tự vẽ

1/

Xét tam giác ABC: tam giác ABC là tam giác cân(gt) mà AH là đường cao(vì AH\(\perp\)BC)=> AH cũng là đường trung tuyến=> BH=HC

Ta có: BC=HB+HC, mà HB=HC(cmt)=> HB=HC=\(\frac{BC}{2}\)=> HB=HC= 5cm

Xét tam giác ACH, theo định lý Py ta go, có:

AH^2+ HC^2=AC^2

=> AH^2+ 5^2= 12^2

=> AH^2= 144-25

=> AH^2= 119=> AH= căn 119cm

2/ Xét tam giác BCA, theo định lý Py ta go, có:

BA^2+ AC^2= BC^2=> 12^2+5^2=BC^2

=> 144+25= BC^2=> BC^2= 169=>BC=13cm

Mà M là trung điểm BC(gt)=> MB=MC nên ta có BC=MB+MC=> MB=MC=\(\frac{BC}{2}\)=> MB=MC=6,5

Xét tam giác BMN, theo định lý Py ta go, có:

BN^2+NM^2= BM^2

=> BN^2+2,7^2=6,5^2=> BN^2 = 42,25-7,29=> BM^2= 34,96=> BM= căn 34,96cm

Bài 1 : 
Xét \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{cases}}\)
Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta AHC\)có:
AB = AC (cmt)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(cmt)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(Ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BH=HC\)( 2 cạnh tương ứng)
Mà BH + HC = BC
=> BH = HC = 1/2.BC = 5cm
Xét \(\Delta AHC\)
Áp dụng định lý Pytago có : AC² = HC² + AH² 
=> 12²=5²+ AH² => 144 = 25 + AH² => AH² = 144 - 25 = 119 => AH = \(\sqrt{119}\)(cm)
Vậy AH dài \(\sqrt{119}\)cm

hình tự vẽ nhé:

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

       \(AC^2=HC.BC=9BC\)

       \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(400+9BC=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC^2-9BC-400=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(BC-25\right)\left(BC+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=25\)

 \(\Rightarrow\)\(AC^2=9.25=225\)

\(\Rightarrow\)\(AC=\sqrt{225}=15\)

     Áp dụng hệ thức lượng ta có:

              \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\)\(AH=\frac{20.15}{25}=12\)

MÌNH CẦN BÀI 2 BÀI 1 ĐƯỢC RỒI 

Bài 3 :

\(BC=HC+HB=16+9=25\left(cm\right)\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2\)

\(\Rightarrow AB=15\left(cm\right)\)

\(AH^2=HC.HB=16.9=4^2.3^2\Rightarrow AH=3.4=12\left(cm\right)\)

Bài 6:

\(AB=AC=4\left(cm\right)\) (Δ ABC cân tại A)

\(BH=HC=2\left(cm\right)\) (Ah là đường cao, đường trung tuyến cân Δ ABC) 

\(BC=BH+HC=2+2=4\left(cm\right)\)

Chu vi Δ ABC :

\(4+4+4=12\left(cm\right)\)

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A,ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Vậy: BC=10cm