Bạn tham khảo:

Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x y z\right)^2\ge14\left(x^2 y^2 z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24

bn tham khảo trên câu hỏi tương tự nhé

Bài này chỉ có min, không có max của A nhé bạn

Muốn có max thì x;y;z phải không âm

Lời giải:

Biểu thức $P$ chỉ có min chứ không có max bạn nhé.

Nếu tìm min thì ta làm như sau:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

$x^2+(\frac{3}{14})^2\geq 2\sqrt{x^2.(\frac{3}{14})^2}=\frac{3}{7}|x|\geq \frac{3}{7}x$

$y^2+(\frac{1}{14})^2\geq \frac{1}{7}|y|\geq \frac{1}{7}y$

$z^2+(\frac{1}{7})^2\geq \frac{2}{7}|z|\geq \frac{2}{7}z$

Cộng theo vế và thu gọn ta thu được:

$P+\frac{1}{14}\geq \frac{1}{7}(3x+y+2z)=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{14}$

Vậy $P_{\min}=\frac{1}{14}$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{1}{7})$

Tại sao lại ra những con số như trên, bạn tham khảo thêm phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM-GM.

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.

Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x+y+z\right)^2\ge14\left(x^2+y^2+z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24

mk chỉ tìm đc Max thôi bn ak

áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốpxki:

pt trình đã cho (=)  6(x²+y²+z²)=(1+1+2²).(x²+y²+z²)=18 >= (x+y+2z)²

=) x+y+2z<= 3 căn(2)

=) Max ...

Nguyễn Trung Thành từ:

\(18=6\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+2z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\sqrt{2}\ge x+y+2z\ge-3\sqrt{2}\) luôn nha! Vì nó không có đk x, y, z > 0.

Suy ra min và max

\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)

cmtt => GTLN

Tìm max:

Ta có:

\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(\le\frac{2x+y+z}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y+zx}\le\frac{2y+z+x}{2}\left(2\right)\\\sqrt{2z+xy}\le\frac{2z+x+y}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(A\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{2y+z+x}{2}+\frac{2z+x+y}{2}=2\left(x+y+z\right)=4\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Tìm min:

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+yz}\ge0\\\sqrt{2y+zx}\ge0\\\sqrt{2z+xy}\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\ge0\)

Dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,2;2,-2,2;2,2,-2\right)\)