Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Hà Khánh Ngân
Xem chi tiết
Hà Nhung Huyền Trang
23 tháng 7 2023 lúc 16:25

A=(2ab-a^2-b^2+c^2).(2ab+a^2+b^2-c^2)

A=(c^2-(a-b)^2).((a+b)^2-c^2)

A=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

Do c+b-a>0

c+a-b>0

a+b-c>0

a+b+c>0

=>A>0

@Hà Nhung Huyền Trang

Nguyễn Thị Minh Nguyệt
Xem chi tiết
tth_new
6 tháng 9 2020 lúc 16:34

Bài này không đúng nhé. Với a = b = c = 1 thì bất đẳng thức sai. Tuy nhiên bài này đúng theo chiều ngược lại.

Khách vãng lai đã xóa
Phan Nghĩa
7 tháng 9 2020 lúc 20:18

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau đây \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Đặt \(\left\{2a+2b-c;2b+2c-a;2c+2a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)

Vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên x,y,z dương 

Ta có : \(x^2+y^2+z^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(x+y=c+a+4b\)\(y+z=a+b+4c\)\(z+x=b+c+4a\)

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : \(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^3.x\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{x^4}{4}}=2\frac{x^2}{2}=x^2\)

\(\frac{y^3}{x+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^3.y\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{y^4}{4}}=2\frac{y^2}{2}=y^2\)

\(\frac{z^3}{x+y}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^3.z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)4}}=2\sqrt{\frac{z^4}{4}}=2\frac{z^2}{2}=z^2\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx+xy+yz+zx}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{2}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)khi đó ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{y+x}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng nhật Giang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Tiên
Xem chi tiết
Hoàng Phúc
Xem chi tiết
Vy Ngọc
17 tháng 6 2016 lúc 10:06

undefined

Đặng Minh Triều
17 tháng 6 2016 lúc 10:08

VT=2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4

=a2b2+a2c2+b2c2+a2.(b2-a2)+b2.(c2-b2)+c2.(a2-c2)

=a2b2+a2c2+b2c2+a2.(b+a)(b-a)+b2.(c+b)(c-b)+c2.(a+c)(a-c)

Ta lại có : a+b>c=>a-c>-b

                 b+c>a=>b-a>-c

                 c+a>b=>c-b>-a

(BĐT tam giác)

=>VT>a2b2+a2c2+b2c2+a2.c.(-c)+b2.a.(-a)+c2.b.(-b)

=0

=>VT>0 =>dpcm

Ngô Đức Thắng
16 tháng 4 2017 lúc 21:13

undefined

nguyễn quang hưng
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
30 tháng 10 2023 lúc 20:54

a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)

\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)

\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)

\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)

\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

=>b+c>a và a+b>c và a+c>b

=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0

=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0

=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0

=>A<0

nguyễn quang hưng
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
30 tháng 10 2023 lúc 20:55

loading...

Mai Nguyen
Xem chi tiết
giang đào phương
Xem chi tiết
Đoàn Đức Hà
18 tháng 6 2021 lúc 16:12

\(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)

\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[c^2+\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=\left(c-a+b\right)\left(c-b+a\right)\left[c^2+\left(a+b\right)^2\right]>0\)

(vì theo bất đẳng thức tam giác thì \(b+c-a>0,a+c-b>0\))

Khách vãng lai đã xóa