Cho điểm M nằm ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Cm: CI là phân giác góc MCH
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng minh:
1) Tứ giác MAOB nội tiếp
2)\(MA^2=MC.MD\)
3) OH.OM + MC.MD =\(MO^2\)
4)CI là phân giác của góc MCH
1, Vì MA ; MB lần lượt là tiếp tuyến (O) với A;B là tiếp điểm
=> ^MAO = ^MBO = 900
Xét tam giác MAOB có ^MAO + ^MBO = 1800
mà 2 góc đối Vậy tứ giác MAOB là tứ giác nt 1 đường tròn
2, Xét tam giác MAC và tam giác MDA
^M _ chung
^MAC = ^MDA ( cùng chắn cung AC )
Vậy tam giác MAC ~ tam giác MDA (g.g)
\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MA^2=MD.MC\)
3, Ta có AM = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
OB = OA = R
Vậy MO là đường trung trực
Xét tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH
AO^2 = OH . OM ( hệ thức lượng )
\(\Rightarrow OM.OH+MC.MD=AO^2+AM^2=OM^2\left(pytago\right)\)
Bài 13 Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) của đường tròn tâm O. Đoạn thắng OM cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp và MC.MD = OM^2 - R^2 b) Bốn điểm O, H, C, D thuộc một đường tròn.
a) Ta có
OA vg góc vs MA (gt) => góc MAO = 90 độ
OB vg góc vs MB (gt) => góc MBO = 90 độ
Tứ giác MAOB có góc MAO + góc MBO = 90 + 90 = 180 độ
=> MAOB nội tiếp
a: góc MAO+góc MBO=180 độ
=>MAOB nội tiếp
Xét ΔMAC và ΔMDA có
góc MAC=góc MDA
góc AMC chung
=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA
=>MA/MD=MC/MA
=>MA^2=MD*MC=OM^2-R^2
b: Xét (O) co
MA,MB là tiếp tuyến
=>MA=MB
mà OA=OB
nên OM là trung trực của AB
=>OM vuông góc AB tại H
=>MH*MO=MA^2=MC*MD
=>MH/MD=MC/MO
=>ΔMHC đồng dạng vơi ΔMDO
=>góc MHC=góc MDO
=>góc ODC+góc OHC=180 độ
=>OHCD nội tiếp
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) của đường tròn tâm O. Đoạn thẳng OM cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp và
b) Bốn điểm O, H, C, D thuộc một đường tròn.
c) CI là tia phân giác của .
Giúp tớ
Cho điểm M nằm ngoài (O) , vẽ tiếp tuyến MA và MB , vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D, không đi qua tâm O) , OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I
a, tứ giác MAOB nội tiếp
b, MC.MD = MA2
c, OH.OM+MC.MD = MO2
d, CI là phân giác góc MCH
Giúp tớ ý b,c,d nhá tớ sẽ tick
Câu a: Theo tính chất của tiếp tuyến luôn có \(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)
Nên tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO
Câu b :Vì MA,MB là tiếp tuyến tại A,B ; Cát tuyến CD , Nên ta có phương tích Từ M đến đường tròn (O) :
\(MA.MA=MO^2-OI^2\left(1\right)\)
\(MC.MD=MO^2-OI^2\left(2\right)\)
Từ 1, 2 Có \(MC.MD=MA.MA=MA^2\left(dpcm\right)\)
Câu C:Xét tam giác vuông \(\Delta MAO\)Vuông tại A; theo tính chất tiếp tuyến tiếp tuyến luôn có \(AB⊥MO\)tại H .Theo hệ thức lượn trong tam giác vuông : \(OH.OM=OA^2\)(Vì có AH là đường cao) mà \(OM^2=OA^2+MA^2\Rightarrow OM^2=OH.OM+MC.MD\left(dpcm\right)\)
Câu D:Vì theo tính chất của tiếp tuyến có I là điểm chính giữa \(\widebat{AB}\Rightarrow\widebat{AI}=\widebat{BI}\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{IAB}\)(Cùng chắn 2 cung bằng nhau)
nên \(AI\)là phân giác của góc \(\widehat{MAH}\)Nên theo tính chất đường phân giác trong ta có :\(\frac{MI}{MH}=\frac{MA}{HA}\left(3\right)\)
Theo tính chất phương tích của M và (O) có : \(\hept{\begin{cases}MA^2=MC.MA\\MA^2=MH.MO\end{cases}\Leftrightarrow MC.MD=MH.MO\Leftrightarrow\frac{MC}{MH}=\frac{MD}{MO}}\)mà hai tam giác \(\Delta MHC,\Delta MDO\)Chung góc \(\widehat{CMH}\)nên hai tam giác đồng dạng
\(\frac{MH}{CH}=\frac{MD}{MO}\left(4\right)\)
Mặt khác :
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AMO}chung\\\widehat{MHA=\widehat{MA0}}\end{cases}}\Rightarrow\Delta MAO=\Delta MHA\Rightarrow\frac{MO}{OA}=\frac{MA}{AH}\left(5\right)\)
Từ 3,4,5 ta có : \(\frac{IM}{IH}=\frac{MC}{CH}\Rightarrow\)\(CI\)là phân giác của góc \(\widehat{MCH}\)
Cho đường tròn tâm O bán kính R . Tại điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm ) . Vẽ đường thẳng MCD không đi qua tâm ( C nằm giữa M và D ) . OM cắt AB và (O) tại H , gọi I là trung điểm OM
a) CM 4 điểm M,A,O,B thuộc 1 đường tròn
b) CM: AB vuông góc với OM
a: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b; Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyếp MA, MB với đường tròn. Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O, OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng minh
a) tứ giác MAOB nội tiếp
b) MC.MD=MA^2
c) OH.OM+MC.MD=MO^2
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O ( C nằm giữa M và D), OM cắt AB tại H. Chứng minh rằng
1, Tứ giác MAOB nội tiếp
2,\(\frac{MC}{MD}=\frac{AC^2}{AD^2}\)
3, HA là phân giác của góc CHD
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O).vẽ các tiếp tuyến MA,MB(A,B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD ko đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O). Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I. chứng minh rằng:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
b) MC.MD=MA2
c) OH.OM+MC.MD=MO2
d) CI là phân giác của góc MCH
Bài 1:Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến AM,BM với đường tròn (A,B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D) với đường tròn(O).
a)C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp
b)C/m: MA2=MC.MD
c)Đường thẳng MO cắt AB tại H và cắt (O) tại I và K( I nằm giữa M và K).C/m: CK là tia phân giác của góc DCH