a) Xét hai tam giác vuông: ∆ABD và ∆ACE có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

∠A chung

⇒ ∆ABD = ∆ACE (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do I là trung điểm của BC (gt)

⇒ IB = IC

Xét ∆ABI và ∆ACI có:

AB = AC (cmt)

AI là cạnh chung

BI = CI (cmt)

⇒ ∆ABI = ∆ACI (c-c-c)

⇒ ∠BAI = ∠CAI (hai góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của ∠BAC

c) Do ∆ABI = ∆ACI (cmt)

⇒ ∠AIB = ∠AIC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AIB + ∠AIC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AIB = ∠AIC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AI ⊥ BC

Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)

Trong tam giác vuông ABD:

\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)

Pitago tam giác BCD:

\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)

\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)

\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)

\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)

Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)

Ta có ∠C = 180o - 30o - 100o = 50o

Khi đó ∠(ACE) = 50o : 2 = 25o. Chọn D

Ta có ∠C = 180o - 30o - 100o = 50o

Khi đó ∠(ACE) = 50o : 2 = 25o. Chọn D

a) Xét ΔAMB và ΔEMB có

BA=BE(gt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{EBM}\)(BM là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

BM chung

Do đó: ΔAMB=ΔEMB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{MAB}=\widehat{MEB}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MAB}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên \(\widehat{MEB}=90^0\)

hay ME\(\perp\)BC(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+30^0=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=60^0\)

hay \(\widehat{ABE}=60^0\)

Xét ΔABE có BA=BE(gt)

nên ΔBAE cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔBAE cân tại B có \(\widehat{ABE}=60^0\)(cmt)

nên ΔBAE đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

vận dụng sin; cos;tan;cot

Ta có: B E = A E - A B = a + b + c 2 - c = a + b - c 2

Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BE = BD; CD = CF

AE = AB + BE

AF = AC + CF

Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF

= AB + AC + (BD + DC)

= AB + AC + BC = c + b + a

Mà: AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra:  A E = A F = a + b + c 2

a, Xét △ABC vuông tại A có: BC² = AB² + AC² (định lý Pytago)

=> BC² = 7² + 24² 

=> BC² = 625

=> BC = 25 (cm)

b, Vì △EDF cân tại D => DEF = (180^o - EDF) : 2 = (180^o - 100^o) : 2 = 80^o : 2 = 40^o