a) Ta có: \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Delta AHB\) vuông tại H có HE là đường cao \(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

\(\Delta AHC\) vuông tại H có HF là đường cao \(\Rightarrow AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2-AC^2=BH.BC-CH.BC=BC\left(BH-CH\right)\)

\(=\left(BH+CH\right)\left(BH-CH\right)=BH^2-CH^2\)

c) Ta có: \(\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AF.FC}-\dfrac{1}{CA.CF}=\dfrac{1}{CF}\left(\dfrac{1}{AF}-\dfrac{1}{CA}\right)\)

\(=\dfrac{1}{CF}.\dfrac{CF}{AF.AC}=\dfrac{1}{AH^2}\)

Lại có: \(\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE.EA}-\dfrac{1}{BE.BA}=\dfrac{1}{BE}\left(\dfrac{1}{EA}-\dfrac{1}{BA}\right)\)

\(=\dfrac{1}{BE}.\dfrac{BE}{EA.BA}=\dfrac{1}{AH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}\Rightarrow\dfrac{1}{BH^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{HF^2}\)

d) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.\left(AB.AC\right)=BE.CF.AH.BC\)

\(\Rightarrow BC.BE.CF=AH^3\)

e) Ta có: \(AE.BE+AF.CF=EH^2+HF^2=EF^2=AH^2=BH.CH\)

f) Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=3AH^2+BH^2-EH^2+CH^2-HF^2\)

\(=3AH^2+BH^2+CH^2-\left(EH^2+HF^2\right)\)

\(=3AH^2+BH^2+CH^2-EF^2=3AH^2+BH^2+CH^2-AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2AH^2=BH^2+CH^2+2BH.CH\)

\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$ và $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}; DO=\frac{BD}{2}=\frac{n}{2}$

Xét tam giác $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{d(O, AD)^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OD^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{(\frac{m}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{n}{2})^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ (đpcm)

Hình vẽ:

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:

$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$

$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)

Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$

$\Rightarrow EF=HA$

$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AH^2=HB.HC(3)$

Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC và AC^2=CH*BC

=>AB^2/AC^2=BH/CH

b: S AHC=8,64

=>1/2*AH*HC=8,64

=>AH*HC=17,28

S AHB=15,36

=>1/2*AH*HB=15,36

=>AH*HB=30,72

mà AH*HC=17,28

nên AH*AH*HB*HC=30,72*17,28

=>AH^2*AH^2=30,72*17,28

=>AH^4=530,8416

=>\(AH=\sqrt[4]{530.8416}=4.8\left(cm\right)\)