Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)

và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)

Xét BĐT phụ:  \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))

Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)

\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a²+b²+c²\(\ge\)2a(b+c)

Chứng minh:

Ta có 2a²+b²+c²=(a²+b²)+(a²+c²)

Áp dụng bđt cauchy ta có

(a²+b²)+(a²+c²)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(K\)

Với x, y, z > 0, ta có: \(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}< \frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow4-yz>0\)

Tương tự ta cũng có \(4-zx>0,4-xy>0\)

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\frac{x^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{x^2+y^2+y^2+z^2}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{z^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-xy\right)}\ge4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(K\ge\frac{2xy+2xz}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{2xy+2yz}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{2xz+2yz}{xyz\left(4-xy\right)}\)\(=2\left[\frac{y+z}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{z+x}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{x+y}{xy\left(4-xy\right)}\right]\)\(=2\left[\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\right]+\)      \(2\left[\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\right]\) 

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương, ta có\(\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

\(\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Do đó \(K\ge\frac{12}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Mặt khác ta lại có: \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le\left(\frac{3xyz+12-xy-yz-zx}{4}\right)^4\)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge3\)\(\Leftrightarrow3xyz-xy-yz-zx\le0\)

Suy ra \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le3^4=81\) \(\Rightarrow\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}\le3\sqrt[3]{3}\)

Do đó \(K\ge\frac{12\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}=4\)

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

nhờ mn giúp mk bài này vs ạ

mk đang cần gấp !

cảm ơn mn nhiều

Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)

Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)

Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)

\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)

BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) 

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)

Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm

\(VT\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}\sqrt{xy+x+y}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2x+2y+2z+xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left[6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}}=\sqrt{3}\)

Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)

a,b,c??? chỗ nào vậy bé ?? :)))

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh

Chỗ e in đậm.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)

<=>\(a+b+c\ge3\)

Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)

\(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)

\(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)

\(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:

\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)

BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ps: nospoiler

Dùng cosi dạng engel là ra

e

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3