Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Phan Văn Trường

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2+y2+z2=3

chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)

Nguyễn Phan Văn Trường
24 tháng 12 2020 lúc 21:27

nhờ mn giúp mk bài này vs ạ

mk đang cần gấp !

cảm ơn mn nhiều

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 12 2020 lúc 8:57

Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)

Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)

Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)

\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)

BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) 

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)

Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm


Các câu hỏi tương tự
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết