Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Phương Anh

Cho x, y, z >0 thỏa mãn x + y + z = 1

CMR: \(\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{zx+y}}\le\dfrac{3}{2}\)

Akai Haruma
26 tháng 1 2021 lúc 13:14

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

\(\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phan Văn Trường
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Miko
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
Linh Mai
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết