Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Linh Mai

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)

Chứng minh : \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{Z+x+2y}}\le\dfrac{1}{2}\)

Lightning Farron
28 tháng 5 2018 lúc 23:06

Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\dfrac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\dfrac{1}{2}\)

Ta có:\(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)

\(\le\dfrac{2ab}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{bc+ac}{a+b}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{9}\)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Dat
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
Nguyen
Xem chi tiết