Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(xy+yz+zx\ge x+y+z\).CMR:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge1\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG,Nguyễn Việt Lâm Giúp với !

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2019 lúc 21:29

\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+xz+yz\ge x+y+z\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\Rightarrow xy+xz+yz\ge3\)

\(\sum\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}=\sum\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\ge\sum\frac{2x^2}{x^2-x+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)-\left(x+y+z\right)+12}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)

Đặt \(x+y+z=a\ge3\Rightarrow VT\ge\frac{2a^2}{a^2-a+12}=1+\frac{a^2+a-12}{a^2-a+12}=1+\frac{\left(a-3\right)\left(a+4\right)}{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{47}{4}}\)

Do \(a\ge3\Rightarrow\frac{\left(a-3\right)\left(a+4\right)}{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{47}{4}}\ge0\Rightarrow VT\ge1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Linh Mai
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyen
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Ngọc Linh
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết