Lời giải:
Nếu $p$ không chia hết cho $3$ thì $p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 8p^2+1\equiv 8+1\equiv 0\pmod 3$

Mà $8p^2+1>3$ nên $8p^2+1$ không là snt (trái giả thiết)

Vậy $p=3$. Khi đó $8p^2-1=71$ là số nguyên tố (đpcm)

                   TH1:p<3

                   +Vì p<3;mà p là số nguyên tố =>p=2.

                   Với p=2 ta có:p³+2=2³+2=8+2=10(là hợp số nên loại)

                   TH2:p>3

                   +vì p>3 nên=>p=6k+1 hoặc p=6k+5.

                   Với p=6k+1 ta có :p³+2=(6k+1)³+2=6k³+1+2=6k³+3:3(là  hợp số nên loại)

                   Với p=6k+5 ta có:p³+2=(6k+5)³+2=6k³+125+2=6k³+127(vì UCLN(6k³;127)=1=>6k³+127 là số nguyên tố nên nhận)

                                                          Vậy với p=6k+5 thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

\(2xy+x-2y=4\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-2y-1=4-1\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=3\\ \Rightarrow\left(x-1\right)\left(2y+1\right)=3\)

Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1,2y+1\in Z\\x-1,2y+1\inƯ\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng:

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;-2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

1)vì p là số nguyên tố lớn hơn 3=> p không chia hết cho 3

=>4p không chia hết cho 3

vì p lớn hơn 3  => 2p+1 lớn hơn 3   =>2p+1 không chia hết cho 3

=>2.(2p+1) không chia hết cho 3   =>4p+2 không chia hết cho 3

vì 4p;4p+1;4p+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

mà 4p và 4p+2 không chia hết cho 3=> 4p+1 chia hết cho 3

=>4p+1 là hợp số.

Xét p=2

⇒ \(2^2+2^2=4+4=8\left(L\right)\)

Xét p=3

⇒ \(2^3+3^2=8+9=17\left(TM\right)\)

Xét p>3

⇒ p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên (p²–1)⋮3 và (2^p+1)⋮3.

Do đó:  2^p+p²là hợp số (L)

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.