sao giờ lớp 6 toàn học kiến thức lớp 8 thế

cái đầu tiên, chuyển 2ab sang thì vế trái phân tích được thành (a-b)^2 lớn hơn bằng 0

cái thứ 2, tách ra được a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a=\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)cộng với 2 cái kia nữa

có a^2+b^2 \(\ge\)2ab suy ra phân số lớn hơn bằng 2, 2 cái kia tương tự suy ra S>=6

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{ac}{ca}}+2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+2\sqrt{\frac{bc}{cb}}=2+2+2=6\)

Dấu"=" xảy ra khi a=b=c

Lớp 6 chưa học bđt Cauchy nha bn kia

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-6\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}-2+\frac{b}{c}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}+\frac{a^2-2ac+c^2}{ac}+\frac{c^2-2bc+b^2}{bc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}+\frac{\left(c-b\right)^2}{bc}\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b;c\in N\))

Vậy \(S\ge6\)

a, Áp dụng bđt cosi ta có : 

a/b + b/a >= \(2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)= 2

b, Tương tự câu (a) ta có : b/c + c/b >= 2 ; c/a + a/c >= 2

=> S - a/c + b/c + b/a + c/a + c/b + a/b = (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c) >= 2+2+2 = 6

Tk mk nha

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

                  con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

 30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

 15 - 10 = 5 ( năm )

       ĐS : 5 năm

mình nha

ko có đk ko cho biết cài zì

bố ai mà làm đc

Hình như bạn bị lỗi một chút. Để phải là: CM

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2\)

Giải như sau:

Đặt \(\left ( \frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b} \right )=(x,y,z)\). Khi đó, ta thu được điều kiện sau:

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1\)

Bài toán chuyển về CM \(x+y+z+\sqrt{2xyz}\geq 2\)\(\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\) \((\star)\)

Từ điều kiện $(1)$ , áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left [ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \right ][x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)\) $(1)$

Ta sẽ chứng minh \(2(xy+yz+xz)+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\)$(2)$

Thật vậy:

Theo Am-Gm: \(1=xy+yz+xz+2xyz\leq xy+yz+xz+2\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^3}{27}}\)

Đặt \(\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}=t\). Ta có

\(1\leq 3t^2+2t^3\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1)\geq 0\Rightarrow t\geq\frac{1}{2}\)

Khi đó \((1)\Leftrightarrow 6t^2+\sqrt{1-3t^2}\geq 2\Leftrightarrow (2t-1)(2t+1)(3t^2-1)\leq0\)

Điều này luôn đúng do \(t\geq \frac{1}{2}\) và \(1>xy+yz+xz=3t^2\)

Do đó $(1)$ được CM.

Từ \((1),(2)\Rightarrow (\star)\) đúng, bài toán được hoàn thành.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$, hay $a=b=c$

Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)

Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c

Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)

Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)

Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)

Bài toán đúng theo kết quả câu 1.

Mn đừng chép bài giải ở CHTT nha vì em chưa học đến, giải = cách lớp 6 thôi ạ.

Ace Legona Rồng Đom Đóm Nguyen Nguyễn Thành Trương Nguyễn Thị Ngọc Thơ Nguyễn Thị Thảo Vy Lê Anh Duy Y Nguyễn Huy Thắng Khôi Bùi ...

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{ca}}=2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{cb}}=2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge2+2+2=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow S\ge6\left(đpcm\right)\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!