Cho 2 số x,y khác 0. Chứng minh rằng:
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
Những câu hỏi liên quan
cho 2 số x,y khác 0 chứng minh rằng
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
Theo Cauche ta có:
\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)
CHo các số thực x , y ( x + y khác 0 )
CHứng minh rằng: \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\) ta có \(xy+yz+zx=-1\) và BĐT trở thành
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT được chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (2)
Trần Hải An sai nhé: ne6u1xy+yz+zx<0 thì nhân vào 2 phải đổi dấu BĐT
Đúng 0
Bình luận (4)
Cho hai số x,y khác 0. Chứng minh rằng: x2 + y2 + \(\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(VT=x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2=\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2-2xy\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2\left(1+xy\right)^2}{\left(x+y\right)^2}}-2xy=2\left|1+xy\right|-2xy\)
\(VT\ge2\left(1+xy\right)-2xy=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+y\right)^2=1+xy\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Cho a, b, c 0. CMR: a^2+b^2+c^2+abc+5ge3left(a+b+cright)
2) Cho a, b, c 0, đặt xa+frac{1}{b}, yb+frac{1}{c}, zc+frac{1}{a}. Chứng minh rằng: xy+yz+zxge2left(x+y+zright)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng: x^2+y^2+z^2+x+y+zge2left(xy+yz+zxright)
Đọc tiếp
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
1) Cho a, b, c 0. CMR: a^2+b^2+c^2+abc+5ge3left(a+b+cright)2) Cho a, b, c 0, đặt xa+frac{1}{b}, yb+frac{1}{c}, zc+frac{1}{a}. Chứng minh rằng: xy+yz+zxge2left(x+y+zright)3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng: x^2+y^2+z^2+x+y+zge2left(xy+yz+zxright)
Đọc tiếp
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
cho xy khác 0 và x+y =1
chứng minh rằng: \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)
\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)
\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)
từ đó ta có đpcm
Cho x+y=1 và xy khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Cho các số x , y thỏa mãn x + y \(\ne\)0
Chứng minh : \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào
Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)
Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Đúng 0
Bình luận (0)
Đề sai. a=0;b=0,1 ko đúng, sửa lại đề đi bn
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho các số thực x , y ( x + y \(\ne\) 0 ).
Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2.\)
Giải được = 3 like.
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\)ta có \(xy+yz+zx=-1\)và bất đẳng thức đã cho trở thành:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Mình giải thế này có đúng ko?
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\). Ta có: xy + yz + zx = -1 và bất đẳng thức đã cho trở thành:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
Đúng 0
Bình luận (0)