1) \(M=9x^2-6x+6=\left(9x^2-6x+1\right)+5=\left(3x-1\right)^2+5\ge5\)

\(minM=5\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

2) \(M=5-2x-x^2=-\left(x^2+2x+1\right)+6=-\left(x+1\right)^2+6\le6\)

\(maxM=6\Leftrightarrow x=-1\)

3) \(N=5+6x-9x^2=-\left(9x^2-6x+1\right)+6=-\left(3x-1\right)^2+6\le6\)

\(maxN=6\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

để A nhỏ nhất thì 6x - 5 - 9x² lớn nhất

ta có 6x - 5 - 9x² = - ( 9x² - 6x + 5 )

                         = -( 3x - 1 ) ² + 4

                        = 4 - (3x - 1 )²

ta có (3x - 1)² lớn hơn hoặc = 0 với mọi x 

trường hợp dấu bằng xảy ra cũng là trường hợp để 4 - (3x - 1 )² lớn nhất

ta có  với (3x -1)² = 0 tức x = 1/3 thì 4 - (3x - 1 )² = 4

khi đó A = \(\frac{2}{6x-5-9x^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

vậy A nhỏ nhất = 1/2 khi và chỉ khi x=1/3

Ta có : \(C=\frac{2}{6x-5-9x^2}\)

\(\Leftrightarrow C=-\frac{2}{9x^2-6x+5}\)

\(\Leftrightarrow C=-\frac{2}{\left(3x-1\right)^2+4}\)

Để C đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2+4\)đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có : \(\left(3x-1\right)^2+4\ge4\)

Dấu " = " xảy ra : 

\(\Leftrightarrow3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy \(Min_C=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Một mảnh đất hình vuông có cạnh dài 12m. Người ta chia mảnh đất thành hai hình chữ nhật để làm sân và xây nhà. Diện tích làng Sơn chiếm 1/3 diện tích mảnh đất. Tính chu vi và diện tích phần đất để xây nhà?

Bài làm:

\(C=\frac{2}{6x-5-9x^2}=-\frac{2}{9x^2-6x+5}=-\frac{2}{\left(9x^2-6x+1\right)+4}=-\frac{2}{\left(3x-1\right)^2+4}\)

Mà ta có: \(\left(3x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\Rightarrow\left(3x-1\right)^2+4\ge4\left(\forall x\right)\Rightarrow\frac{2}{\left(3x-1\right)^2+4}\le\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow-\frac{2}{\left(3x-1\right)^2+4}\ge-\frac{1}{2}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(3x-1\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy \(Max\left(C\right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Ta có: \(E=9x^2+6x-1\)

\(=9x^2+6x+1-2\)

\(=\left(3x+1\right)^2-2\ge-2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{3}\)

\(F=\left(3x\right)^2+2.3x.1+1-2=\left(3x+1\right)^2-2\ge-2\)

Dấu = xảy ra ⇔ \(3x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{3}\)

Vậy min của F là -2

<=> F=(9x^2 +6x +1)-2

<=> F= (3x+1)^2 -2 >= -2

<=> F min =-2 khi x=-1/3

C = \(\frac{2}{6x-5-9x^2}=\frac{2}{-\left(9x^2-6x+1\right)-4}=\frac{2}{-\left(3x-1\right)^2-4}\ge-\frac{1}{2}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> 3x - 1 = 0 =<=> x = 1/3

Vậy MinC = -1/2 khi x = 1/3

M = \(\frac{3}{2x^2+2x+3}=\frac{3}{2\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{5}{2}}=\frac{3}{2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}}\le\frac{3}{\frac{5}{2}}=\frac{6}{5}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + 1/2= 0 <=> x = -1/2

Vậy MaxM = 6/5 khi x = -1/2

N = x  - x² = -(x² - x + 1/4) + 1/4 = -(x - 1/2)² + 1/4 \(\le\)1/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1/2 = 0 <=> x = 1/2

Vậy MaxN = 1/4 khi x = 1/2

Edogawa Conan giúp em luôn bài giá trị lớn nhất luôn được không ạ?

Lời giải:
$A=(9x^2-6xy+y^2)+5y^2-6x-6y+20$

$=(3x-y)^2-2(3x-y)+4y^2-8y+20$

$=(3x-y)^2-2(3x-y)+1+(4y^2-8y+4)+15$

$=(3x-y-1)^2+(2y-2)^2+15\geq 15$

Vậy $A_{\min}=15$.

Giá trị này đạt tại $3x-y-1=2y-2=0$

$\Leftrightarrow (x,y)=(\frac{2}{3},1)$