Lời giải:
PT $\Leftrightarrow (x^2+1-x)(x^2+1+x)=y^2$

Gọi $d$ là ƯCLN của $x^2+1-x, x^2+1+x$.

$\Rightarrow (x^2+1+x)-(x^2+1-x)\vdots d\Leftrightarrow 2x\vdots d$

Dễ thấy $x^2+1-x=x(x-1)+1$ lẻ nên $d$ lẻ.

$\Rightarrow x\vdots d$

Kết hợp với $x^2+x+1\vdots d$ suy ra $1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $x^2+1-x, x^2+1+x$ nguyên tố cùng nhau 

Do đó để tích của 2 số này là scp thì $x^2+1-x=a^2, x^2+1+x=b^2$ với $a,b$ là các số tự nhiên.

$x^2+1-x=a^2$
$4x^2-4x+4=4a^2$
$(2x-1)^2+3=(2a)^2$

$3=(2a)^2-(2x-1)^2=(2a-2x+1)(2a+2x-1)$

Xét các TH $(2a-2x+1,2a+2x-1)=(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)$ ta thu được $x=0$ hoặc $x=1$

Nếu $x=1$ thì $y^2=3$ (loại)

Nếu $x=0$ thì $y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$

Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$

Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (bộ gõ nằm trong biểu tượng $\sum$ trái khung soạn thảo)

Ta có: x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4 

<=> x^2 + x = y(y+1){y(y+1+2} = {y(y+1)}^2 + 2y(y+1) 

<=> x^2 +x + 1 = {y(y+1) +1}^2 

Do VP là SCP, ta có: 

* Nếu x >=0 
=> x^2 < x^2 +x + 1 <= (x+1)^2 
=> Để VT là SCP => x^2 +x + 1 = (x+1)^2 
=> x =0 => y=0 hay y=-1 

* Nếu x <0 hay x <= -1 (do x nguyên) 
=> (x+2)^2 <= x^2 + x +1 < (x+1)^2 
=> Để VT là SCP 
=> (x+2)^2 = x^2 + x +1 
=> x=-1 => y=0 hay y=-1

Ta có: x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4 

<=> x^2 + x = y(y+1){y(y+1+2} = {y(y+1)}^2 + 2y(y+1) 

<=> x^2 +x + 1 = {y(y+1) +1}^2 

Do VP là SCP, ta có: 

* Nếu x >=0 
=> x^2 < x^2 +x + 1 <= (x+1)^2 
=> Để VT là SCP => x^2 +x + 1 = (x+1)^2 
=> x =0 => y=0 hay y=-1 

* Nếu x <0 hay x <= -1 (do x nguyên) 
=> (x+2)^2 <= x^2 + x +1 < (x+1)^2 
=> Để VT là SCP 
=> (x+2)^2 = x^2 + x +1 
=> x=-1 => y=0 hay y=-1

@_@

\(2\left(x+y\right)+1=3xy\)

=>\(2x+2y-3xy=1\)

=>\(x\left(-3y+2\right)+2y=1\)

=>\(-x\left(3y-2\right)+2y-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{3}\)

=>\(-3x\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+2\left(y-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}\)

=>\(-3x\left(3y-2\right)+2\left(3y-2\right)=-1\)

=>\(\left(3y-2\right)\left(-3x+2\right)=-1\)

=>\(\left(3x-2\right)\left(3y-2\right)=1\)

=>\(\left(3x-2;3y-2\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\right\}\)

mà x,y nguyên

nên (x,y)=(1;1)

\(x^2=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)(*)
Đặt \(y^2+3y+\frac{3}{2}=a\)
khi đó : (*) \(x^2=\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a+\frac{3}{2}\right)=a^2-\frac{9}{4}\Leftrightarrow\left(4x-4a\right)\left(x+a\right)=-9\)
Lập bảng là ok nhé 
 

Ta có \(2^x+\left(x^2+1\right)\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0\)

Mà \(2^x>0,x^2+1>0\)

=> \(\left(y-2\right)\left(y-4\right)< 0\)

=> \(2< y< 4\)

=> \(y=3\)

Thay y=3 vào đề bài ta có:

\(2^x-\left(x^2+1\right)=0\)

=> \(2^x=x^2+1\)

Mà \(2^x\)chẵn với \(x>0\)

=> \(x\)lẻ

Đặt \(x=2k+1\)(k không âm)

Khi đó \(2^{2k+1}=\left(2k+1\right)^2+1\)

=> \(2.2^{2k}=4k^2+4k+2\)

=> \(2^{2k}=2k^2+2k+1\)

+ k=0 => \(2^0=1\)thỏa mãn 

=> \(x=1\)

+ \(k>0\)=> \(2^k\)chẵn 

Mà \(2k^2+2k+1\)lẻ với mọi k

=> không giá trị nào của k thỏa mãn

Vậy x=1,y=3

\(PT\Leftrightarrow xy\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(xy+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=1\\xy+1=1\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y-1=-1\\xy+1=-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\xy=0\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-2\end{cases}}}\)

Đến đây thì đơn giản rồi nhé :)))

Phương trình tương đương: \(\left(x+y\right)\left(x^2y^2+1\right)=xy+2\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xu+2}{x^2y^2+1}\)

\(\Rightarrow\left(xy+2\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow\left(x^2y^2-4\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2y^2+1-5\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow5⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2y^2+1\in\left\{1;5\right\}\Rightarrow x^2y^2\in\left\{0;4\right\}\Rightarrow xy\in\left\{-2;0;2\right\}\)

Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;2\right);\left(2;0\right)\right\}\)