bài này chỉ ở dạng trung trung thôi, có 2 cái link 1 tổng quát 2 hiệu quát ko biết giúp j dc ko

-tổng quát: Học tại nhà - Toán - Toán hay hay

-hiệu quát: Học tại nhà - Toán - (Bài Toán Thách Thức )

BĐT dạng k hay n là t ngu lắm ko giúp dc :v

Tui mới học lớp 5 thui anh/chị ạ

Lê thị hương giang Có ai bắt bạn giải đâu mà lớp 5 các kiểu ????

Áp dụng BĐT phụ sau:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^4}{8}=2\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=1

Vậy thì tui xin lỗi nhé 💀🙁🙁🙁🙁🙁🙁🙁🙁

Bài 1:

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)

b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)

\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)

c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)

\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)

\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)

d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)

lần sau đăng ít thôi nhé

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

phần khác tương tư

a/ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ; \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế :

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

b/ \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\)

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{b+2c+a}\)

\(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{c+b+2a}\)

Cộng theo vế :

\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2.1+b^2.1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần nữa ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{2^2}{2}=2\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

<=> \(2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)

<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\) (đúng)

Vậy \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1

Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng: 

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.

Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.