Question

Áp dụng BĐT Bunhia

1. Chứng minh các BĐT sau

a. \(3a^2+4b^2\ge7,với3a+4b=7\)

b. \(3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47},với2a-3a=7\)

c. \(7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137},với3a-5b=8\)

d. \(a^2+b^2\ge\frac{4}{5},vớia+2b=2\)

2. Chứng minh các BĐT sau

a. \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2},vớia+b\ge1\)

b. \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4},vớia+b\ge1\)

c.\(a^4+b^4\ge\frac{1}{8},vớia+b=1\)

d. \(a^4+b^4\ge2,vớia+b=2\)

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

Bài 1:

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)

b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)

\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)

c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)

\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)

\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)

d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

lần sau đăng ít thôi nhé

Answer 3

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

phần khác tương tư

 

 

Answer 4

Bài 2a

Ta có \(a+b\ge1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge1\) (1)

Ta biết \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge1\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) (đpcm)