1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c
2) Nhân 2 vế bpt vs abc
Cm như 1)
3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)
\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)
nên k xảy ra đẳng thức
Áp BĐT Cô-si
1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)
d. \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
bài 1: chứng minh các BĐT sau:
a) \(a^2b+\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab,(∀a,b>0)
d) \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
bài 2: cho phương trình tham số của đường thẳng (d):\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=-9-2t\end{matrix}\right.\).Viết phương trình tổng quát của (d):
bài 3: cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát x-y+2=0. Viết phương trình tham số của Δ
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b+\(\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab, (∀a,b>0)
d) (1+\(\frac{a}{b}\))\(\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a.b,c>0\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si
Cho a,b,c\(\ge0\). Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia,b,c\ge0\)
1. Cho a,b \(\ge\) 0. Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}\left(1\right)\). Áp dụng chứng minh các BĐT sau
a. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\left(a,b,c\ge0\right)\)
b. \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge3+\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
cho a,b,c>0. chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\) +\(\sqrt{\frac{\left(b^2+ac\right)\left(a+c\right)}{b\left(a^2+c^2\right)}}\) +\(\sqrt{\frac{\left(c^2+ab\right)\left(a+b\right)}{c\left(a^2+b^2\right)}}\) \(\ge\) \(3\sqrt{2}\)
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3abc,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
b) \(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd,\left(\forall a,b,c,d\ge0\right)\)
c) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c},\left(\forall a,b,c>0\right)\)
d) \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
CHo a b c d là các số thực . Chứng minh các bất đẳng thức :
a, \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
b, \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
c, \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2^{ }}\right)^3\) với a,b >0
d, \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
e, \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\) với ab>0
f, \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) với a,b \(\ne\) 0
